Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 12. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S), đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng (P) có phương trình dạng 2x + by + cz + d = 0. Khi đó giá trị biểu thức b2 + c2 + d2 bằng
A. 144;
B. 113;
C. 105;
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Mặt cầu (S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 12 có tâm I(1; -2; 3) và bán kính
+)
+) Mặt phẳng (P) có phương trình dạng 2x + by + cz + d = 0 có véc-tơ pháp tuyến là
AB thuộc mặt phẳng (P) nên véc-tơ pháp tuyến của (P) vuông góc với
Ta suy ra được hệ phương trình
Từ đó suy ra (P) có dạng 2x + by - z + 11 = 0
Khối nón có đỉnh là tâm của (S), đáy là hình tròn (C) có thể tích là
đạt GTLN khi IH(12 - IH2) đạt GTLN
Ta có:
Với x > 0, xét hàm số f (x) = x(12 - x2) = 12x - x3
Þ f '(x) = 12 - 3x2 = 0 Û x2 = 4 Þ x = 2 (Do x > 0)
Vẽ được BBT của hàm số f (x) = x(12 - x2) trên (0; +¥)
Dựa vào BBT nên suy ra f (x) đạt GTLN bằng 16 khi x = 2
Nên suy ra IH(12 - IH2) đạt GTLN khi IH = 2
Þ |5 - b|2 = b2 + 5
Û 25 - 10b + b2 = b2 + 5
Û 10b = 20 Û b = 2
Từ đó suy ra b2 + c2 + d2 = 22 + (-1)2 + 112 = 126.
Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ, f (0) = 0, f '(0) ¹ 0 và thỏa mãn hệ thức f (x).f '(x) + 18x2 = (3x2 + x).f '(x) + (6x + 1).f (x), "x Î ℝ.
Biết , với a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức P = 2a + 3b + c.
Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Giá trị của biểu thức |z1| + |z2| bằng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(-1; 1; 6), B(-3; -2; -4), C(1; 2; -1), D(2; -2; 0). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x), y = g (x) liên tục trên [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính theo công thức
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x - y - z + 3 = 0. Đường thẳng D đi qua M(1; 1; 2) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình , nửa đường tròn với và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình (H) bằng
Cho số phức z thỏa mãn . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (2 - i)z - 3i + 5 là một đường tròn. Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn đó.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (-1; 0; 3), B(3; 6; -7). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là
