Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' nội tiếp mặt cầu tâm O (các đỉnh của hình hộp chữ chữ nhật nằm trên mặt cầu). Các kích thước của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c. Gọi $S_1$ là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, $S_2$ là diện tích mặt cầu. Tìm mối liên hệ giữa a,b, c để tỉ lệ $\frac{S_1}{S_2}$ lớn nhất.

Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}$.

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M=x^2+y^2+\frac{3}{x+y+1}$

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=x^3+y^3+x^2+y^2$.

Cho bốn số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x+y+z+t=2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{xy+3xz}+\sqrt{\frac{y^2+yz}{2}}$.

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C=x^2+y^2+xy$

Cho các số thực $a,b,c$ thay đổi luôn thỏa mãn: $a\ge 1,b\ge 1,c\ge 1$ và $ab+bc+ca=9$.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^2+b^2+c^2$.

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn $2a+3b\le 4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$Q=\frac{2002}{a}+\frac{2017}{b}+2996a-5501b$.

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện $x+y\le 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{35}{xy}+2xy$

Cho a, b, c là ba số thực dương. CMR:$\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge a^3+b^3+c^3$

Cho x, y, z là ba số thực dương, thoả mãn: xy+yz+xz=xyz.

Chứng minh rằng: $\frac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{yz}{x^3\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{zx}{y^3\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\ge \frac{1}{16}$