Giải bởi Vietjack
Phần thuận: (Hình 1)
Nối OM. Vì M là trung điểm của AB nên , tức là M luôn nhìn đoạn OP dưới một góc vuông. Vậy M luôn thuộc đường tròn đường kính OP.
Giới hạn: Theo chứng minh trên thì mọi điểm M thuộc quỹ tích đều thuộc đường tròn đường kính OP.
Vị trí M trùng O tương ứng với trường hợp d đi qua O.
Như vậy, quỹ tích là cả đường tròn đường kính OP.
Phần đảo: (Hình 2)
Lấy một điểm M' bất kì thuộc đường tròn đường kính OP (M' khác O). Nối OM'. Qua M' kẻ đường thẳng d' vuông góc với OM' cắt (O) tại A' và B'. Do góc nên d' đi qua P.
Vì tam giác OA'B' cân tại O và OM' vuông góc với A'B' nên M' là trung điểm của A'B'.
Vậy M' là một điểm thuộc quỹ tích.
Kết luận: Quỹ tích là đường tròn đường kính OP.
Chú ý: Nếu P là một điểm nằm ngoài đường tròn thì quỹ tích sẽ chỉ là phần đường tròn đường kính OP nằm bên trong (O). Như vậy, phần đảo và phần giới hạn có ý nghĩa nói chung không thể bỏ qua.
Cho một đường tròn (O) và dây AB cố định, điểm C chuyển động trên cung lớn AB (C khác A và B). Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC chuyển động trên một cung tròn cố định.
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF. Tìm quỹ tích của điểm M khi E di động trên cạnh BC.
Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây AC quay quanh A. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B ta vẽ hình vuông ACDE. Hỏi:
a) Điểm D di động trên đường nào?
Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB.
a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
