IMG-LOGO

Câu hỏi:

12/07/2024 70

Cho tam giác đường phân giác BN và tâm O của đường tròn nội tiếp trong tam giác. Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN, cắt BC tại H. Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm trên một đường tròn.

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Trường hợp 1: H và O nằm cùng phía với AC
Cho tam giác đường phân giác BN và tâm O của đường tròn nội tiếp trong tam giác.  (ảnh 1)
Trường hợp 2: H và O nằm khác phía với AC
Cho tam giác đường phân giác BN và tâm O của đường tròn nội tiếp trong tam giác.  (ảnh 2)
Gợi ý: Gọi I là giao điểm của AH và BN. Kẻ AP vuông góc với CO cắt AB tại P. M là giao điểm của OC và AB, K là giao điểm của OC và AP.

Cách giải 1:
Xét ACP có CK vừa là phân giác vừa là đường cao nên CK cũng là đường trung tuyến, đường trung trực => KA = KP (1)
Xét ABH có BI vừa là phân giác vừa là đường cao nên BI cũng là đường trung tuyến, đường trung trực => IA = IH (2)
Từ (1) và (2) ta có: IK là đường trung bình trong tam giác APH
^IKO=^OCH ( Hình 1)
Hoặc ^IKO+^OCH=180 (Hình 2)
Xét tứ giác AKOI có ˆI=ˆK=90 => AKOI là tứ giác nội tiếp Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.

Cách giải 2:
Ta có BN là đường trung trực của AH ^BHO=^BAO mà ^BAO=^OAC nên ^BHO=^OAC => Tứ giác AOHC nội tiếp được. => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.

Cách giải 3:
ABI là tam giác vuông nên ^IBA+^BAI=180 hay ^IBA+^BAO+^OAI=180 Suy ra: ^OAI+ˆB2+ˆA2=90 => ^OAI  bằng (hoặc bù) với góc ^OCHTứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.

Cách giải 4:
* Đối với (Hình 1) ta có ^AHC=90+ˆB2Góc ngoài trong tam giác
^AOC=90+ˆB2  (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp)
^AHC=^AOC Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
* Đối với (Hình 2) Xét trong tam giác IBH ta có ^AHC=90-ˆB2
^AOC=90+ˆB2 (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp) ^AHC+^AOC=180
Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.

Cách giải 5:
Ta có ^AON=ˆA+ˆB2 (Góc ngoài ở đỉnh O của tam giác AOB)
^AOH=ˆA+ˆB^AOH+^ACH=180 (Hình 1)
hoặc ^OAH=^ACH=ˆA+ˆB (Hình 2)
=> Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »