Cách giải 1:
Xét △ACP có CK vừa là phân giác vừa là đường cao nên CK cũng là đường trung tuyến, đường trung trực => KA = KP (1)
Xét ABH có BI vừa là phân giác vừa là đường cao nên BI cũng là đường trung tuyến, đường trung trực => IA = IH (2)
Từ (1) và (2) ta có: IK là đường trung bình trong tam giác APH
⇒^IKO=^OCH ( Hình 1)
Hoặc ^IKO+^OCH=180∘ (Hình 2)
Xét tứ giác AKOI có ˆI=ˆK=90∘ => AKOI là tứ giác nội tiếp Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
Cách giải 2:
Ta có BN là đường trung trực của AH ⇒^BHO=^BAO mà ^BAO=^OAC nên ^BHO=^OAC => Tứ giác AOHC nội tiếp được. => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
Cách giải 3:
△ABI là tam giác vuông nên ^IBA+^BAI=180∘ hay ^IBA+^BAO+^OAI=180∘ Suy ra: ^OAI+ˆB2+ˆA2=90∘ => ^OAI bằng (hoặc bù) với góc ^OCH⇒Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
Cách giải 4:
* Đối với (Hình 1) ta có ^AHC=90∘+ˆB2Góc ngoài trong tam giác
^AOC=90∘+ˆB2 (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp)
⇒^AHC=^AOC⇒ Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
* Đối với (Hình 2) Xét trong tam giác IBH ta có ^AHC=90∘-ˆB2
^AOC=90∘+ˆB2 (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp) ⇒^AHC+^AOC=180∘
Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
Cách giải 5:
Ta có ^AON=ˆA+ˆB2 (Góc ngoài ở đỉnh O của tam giác AOB)
⇒^AOH=ˆA+ˆB⇒^AOH+^ACH=180∘ (Hình 1)
hoặc ^OAH=^ACH=ˆA+ˆB (Hình 2)
=> Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn