c, Cho M,N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BC, AH Cho K,L lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OM  và CE, MN và BD. Chứng minh KL song song với AC

c,Kẻ đường kính AI  của đường tròn (O) , gọi giao điểm của MN và ED  là P

Xét đường tròn (O) ta có: $\widehat{ACI}={90}^0,\widehat{ABI}={90}^0$  (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra  $CI\perp AC,BI\perp AB$lại có: $BD\perp AC,CE\perp AB\left(gt\right)$  nên $BH//CI,CH//BI$

Xét tứ giác BHCI  có: $\left\{\begin{array}{l}BH//CI\\ CH//BI\end{array}\right.\Rightarrow BHCI$  là hình bình hành có M là trung điểm BC nên M cũng là trung điểm của HI

Xét $\Delta HIA$  có: M là trung điểm của HI, N là trung điểm của AH

$\Rightarrow MN$là đường trung bình của $\Delta HAI\Rightarrow MN//AI$  (tính chất đường trung bình)

Theo câu b) ta có: $AO\perp DE\Rightarrow MN\perp DE$  tại P

Xét tam giác PLD vuông có $\widehat{PLD}={90}^0-\widehat{PDL}\left(3\right)$

Xét đường tròn (O) có M là trung điểm của  $BC\Rightarrow OM\perp BC$hay là đường trung trực của BC

Mà $K\in OM\Rightarrow KB=KC$

Xét $\Delta KBC$ cân tại K có KM là đường cao nên cũng là đường phân giác $\Delta KBC$

$\Rightarrow \widehat{BKM}=\widehat{MKC}$(tính chất đường phân giác)

Xét $\Delta KMC$  vuông tại M có  $\widehat{MKC}={90}^0-\widehat{KCM}\Rightarrow \widehat{BKM}={90}^0-\widehat{KCM}\left(4\right)$

Lại có: $\widehat{EDB}=\widehat{ECB}$ (do tứ giác BEDC nội tiếp) hay $\widehat{PDL}=\widehat{KCM}\left(5\right)$

Từ (3) (4) (5) suy ra $\widehat{BKM}=\widehat{PLD}$  mà $\widehat{PLD}=\widehat{BLM}$ (hai góc đối đỉnh ) nên $\widehat{BLM}=\widehat{BKM}$

Xét tứ giác BLKM có $\widehat{BLM}=\widehat{BKM}$ nên hai đỉnh L, K kề nhau cùng nhìn cạnh BM  dưới các góc bằng nhau, do đó tứ giác BLKM  là tứ giác nội tiếp

Suy ra $\widehat{BLM}+\widehat{BMK}={180}^0\iff \widehat{BLK}={180}^0-{90}^0={90}^0$

Hay $KL\perp BD$  mà $AC\perp BD\left(gt\right)\Rightarrow KL//AC$