Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng A, B, C; A', B', C'. Gọi giao điểm của AB' và A'B là A''; AC' và A'C là B''; BC' và B'C là C''. Chứng minh rằng ba điểm A'', B'', C'' thẳng hàng.

Trường hợp 1: $A^{\text{'}\text{'}}{C}^{\text{'}\text{'}}$ không đi qua X $(X=AC\cap A^{\text{'}}{C}^{\text{'}})$

Kí hiệu $Y=A^{\text{'}\text{'}}{C}^{\text{'}\text{'}}\cap A^{\text{'}}{C}^{\text{'}};Z=A^{\text{'}\text{'}}{C}^{\text{'}\text{'}}\cap AC$; ta gọi:

$B^{\text{'}\text{'}}=A^{\text{'}\text{'}}{C}^{\text{'}\text{'}}\cap A{C}^{\text{'}}$. Ta cần chứng minh: $A^{\text{'}},B^{\text{'}\text{'}},C^{\text{'}}$ thẳng hàng.

Xét tam giác $XYZ$ với đường thẳng đi qua ba điểm thảng hàng $A^{\text{'}},B^{\text{'}\text{'}},C^{\text{'}}$.

$A^{\text{'}},B^{\text{'}\text{'}},C^{\text{'}}$ thẳng hàng $\iff \frac{A^{\text{'}}X}{A^{\text{'}}Y}.\frac{B^{\text{'}\text{'}}Y}{B^{\text{'}\text{'}}Z}.\frac{CZ}{CX}=1$ (1)

Xét tam giác $XYZ$ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng $A^{\text{'}},A^{\text{'}\text{'}},B$, ta có:

$\frac{A^{\text{'}}X}{A^{\text{'}}Y}.\frac{A^{\text{'}\text{'}}Y}{A^{\text{'}\text{'}}Z}.\frac{BZ}{BX}=1$ (2)

Tam giác $XYZ$ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng $B^{\text{'}},C,C^{\text{'}\text{'}}$, ta có:

$\frac{CZ}{CX}.\frac{B^{\text{'}}X}{B^{\text{'}}Y}.\frac{C^{\text{'}\text{'}}Y}{C^{\text{'}\text{'}}Z}=1$  (3)

Tam giác XYZ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng $A,B^{\text{'}\text{'}},C^{\text{'}}$, ta có;

$\frac{AZ}{AX}.\frac{B^{\text{'}\text{'}}Y}{B^{\text{'}\text{'}}Z}.\frac{C^{\text{'}}X}{C^{\text{'}}Y}=1$ (4)

Do $A,A^{\text{'}\text{'}},B^{\text{'}}$ thẳng hàng nên $\frac{A^{\text{'}\text{'}}Y}{A^{\text{'}\text{'}}Z}.\frac{AZ}{AX}.\frac{B^{\text{'}}X}{B^{\text{'}}Y}=1$ (5)

Do $B,C^{\text{'}\text{'}},C^{\text{'}}$ thẳng hàng nên $\frac{BZ}{BX}.\frac{C^{\text{'}}X}{C^{\text{'}}Y}.\frac{C^{\text{'}\text{'}}Y}{C^{\text{'}\text{'}}Z}=1$ (6)

Nhân (2), (3), (4) áp dụng (5), (6) ta suy ra (1)

Ta có điều phải chứng minh.

Trường hợp 2: $A^{\text{'}\text{'}}{C}^{\text{'}\text{'}}$ đi qua X

Bạn đọc tự xét trường hợp này.

Như vậy bản chất của cách 1 ví dụ 1 là định lí Papus. Từ cơ sở toán này, chúng ta đưa ra cách giải tổng quát hơn cách 1 trong ví dụ 1 như sau: