Chứng minh bất đẳng thức: a12a2+a3+a4+a22a3+a4+a5+a32a4+a5+a1+a42a5+a1+a2+a52a1+a2+a3≥53 Trong đó: a1, a2, a3, a4, a5 là các số dương thỏa mãn điều kiện: a12+a22+a32+a42+a52≥1

Đặt: A=a12a2+a3+a4+a22a3+a4+a5+a32a4+a5+a1+a42a5+a1+a2+a52a1+a2+a3B=a12(a2+a3+a4)+a22(a3+a4+a5)+a32(a4+a5+a1)+a42(a5+a1+a2)+a52(a1+a2+a3)C=a12(a2+a3+a4)2+a22(a3+a4+a5)2+a32(a4+a5+a1)2+a42(a5+a1+a2)2+a52(a1+a2+a3)2D=3a12(a2+a3+a4)+a22(a3+a4+a5)+a32(a4+a5+a1)+a42(a5+a1+a2)+a52(a1+a2+a3)E=a12+a22+a32+a42+a52 Do: 3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2 đúng với ∀x,y,z∈ℝ Nên D≥C (1) Bằng biến đổi đơn giản, ta có: 59E2−D=310[(a12+a22−a32−a42)2+(a22+a32−a42−a52)2+(a32+a42−a52−a12)2 +(a42+a52−a12−a22)2+(a52+a12−a22−a32)2+(a12−a42)2 +(a12−a32)2+(a22−a42)2+(a22−a52)2+(a32−a42)2]≥0 Nên 59E2≥0 (2) Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được: A.B≥E2 (3) Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được: B2≤EC Từ (1) và (2), ta có: B2≤EC≤ED≤E.59E2=59E3 (4) Từ (3) và (4), ta thu được: A≥53E≥53, do E≥1. Đẳng thức chỉ xảy ra khi: a1=a2=a3=a4=a5=15

Câu hỏi:

12/07/2024 89

Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{a_{1}^{2}}{a_{2} + a_{3} + a_{4}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} + a_{4} + a_{5}} + \frac{a_{3}^{2}}{a_{4} + a_{5} + a_{1}} + \frac{a_{4}^{2}}{a_{5} + a_{1} + a_{2}} + \frac{a_{5}^{2}}{a_{1} + a_{2} + a_{3}} \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$

Trong đó: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ là các số dương thỏa mãn điều kiện:

$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2} \geq 1$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt:

$A = \frac{a_{1}^{2}}{a_{2} + a_{3} + a_{4}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{3} + a_{4} + a_{5}} + \frac{a_{3}^{2}}{a_{4} + a_{5} + a_{1}} + \frac{a_{4}^{2}}{a_{5} + a_{1} + a_{2}} + \frac{a_{5}^{2}}{a_{1} + a_{2} + a_{3}} B = a_{1}^{2} (a_{2} + a_{3} + a_{4}) + a_{2}^{2} (a_{3} + a_{4} + a_{5}) + a_{3}^{2} (a_{4} + a_{5} + a_{1}) + a_{4}^{2} (a_{5} + a_{1} + a_{2}) + a_{5}^{2} (a_{1} + a_{2} + a_{3}) C = a_{1}^{2} {(a_{2} + a_{3} + a_{4})}^{2} + a_{2}^{2} {(a_{3} + a_{4} + a_{5})}^{2} + a_{3}^{2} {(a_{4} + a_{5} + a_{1})}^{2} + a_{4}^{2} {(a_{5} + a_{1} + a_{2})}^{2} + a_{5}^{2} {(a_{1} + a_{2} + a_{3})}^{2} D = 3 [a_{1}^{2} (a_{2} + a_{3} + a_{4}) + a_{2}^{2} (a_{3} + a_{4} + a_{5}) + a_{3}^{2} (a_{4} + a_{5} + a_{1}) + a_{4}^{2} (a_{5} + a_{1} + a_{2}) + a_{5}^{2} (a_{1} + a_{2} + a_{3})] E = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2}$

Do:

$3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq {(x + y + z)}^{2}$ đúng với $\forall x, y, z \in ℝ$

Nên

$D \geq C$ (1)

Bằng biến đổi đơn giản, ta có:

$\frac{5}{9} E^{2} - D = \frac{3}{10} [(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} - a_{3}^{2} - a_{4}^{2})^{2} + {(a_{2}^{2} + a_{3}^{2} - a_{4}^{2} - a_{5}^{2})}^{2} + {(a_{3}^{2} + a_{4}^{2} - a_{5}^{2} - a_{1}^{2})}^{2} + {(a_{4}^{2} + a_{5}^{2} - a_{1}^{2} - a_{2}^{2})}^{2} + {(a_{5}^{2} + a_{1}^{2} - a_{2}^{2} - a_{3}^{2})}^{2} + {(a_{1}^{2} - a_{4}^{2})}^{2} + {(a_{1}^{2} - a_{3}^{2})}^{2} + {(a_{2}^{2} - a_{4}^{2})}^{2} + {(a_{2}^{2} - a_{5}^{2})}^{2} + {(a_{3}^{2} - a_{4}^{2})}^{2}] \geq 0$

Nên $\frac{5}{9} E^{2} \geq 0$ (2)

Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được:

$A . B \geq E^{2}$ (3)

Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được:

$B^{2} \leq E C$

Từ (1) và (2), ta có:

$B^{2} \leq E C \leq E D \leq E . \frac{5}{9} E^{2} = \frac{5}{9} E^{3}$ (4)

Từ (3) và (4), ta thu được: $A \geq \frac{\sqrt{5}}{3} \sqrt{E} \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$ , do $E \geq 1$ .

Đẳng thức chỉ xảy ra khi: $a_{1} = a_{2} = a_{3} = a_{4} = a_{5} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi. Chứng minh rằng: $\sqrt{p} < \sqrt{p - a} + \sqrt{p - b} + \sqrt{p - c} \leq \sqrt{3 p}$

Xem đáp án » 15/10/2022 122

Câu 2:

Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

$a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Xem đáp án » 15/10/2022 96

Câu 3:

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:

${(x^{3} + y^{3})}^{2} \leq (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4})$

Xem đáp án » 15/10/2022 82

Câu 4:

Hai số x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Chứng minh rằng $- 5 \leq 3 x + 4 y \leq 5$ .

Xem đáp án » 15/10/2022 82

Câu 5:

Cho a, b, c là ba số khác 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

Xem đáp án » 15/10/2022 77

Câu 6:

Cho các số không âm a, y thỏa mãn $x^{3} + y^{3} = 2$ . Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \leq 2$

Xem đáp án » 15/10/2022 75

Câu 7:

Trong tất cả các nghiệm (x, y) của phương trình: 2x + 3y = 1

Hãy chỉ ra nghiệm có tổng $3 x^{2} + 2 y^{2}$ nhỏ nhất.

Xem đáp án » 15/10/2022 70

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Trắc nghiệm Toán 8 Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức có lời giải chi tiết

2 đề 9662 lượt thi Thi thử
Bài tập Nhân đơn thức với đa thức (có lời giải chi tiết)

2 đề 9359 lượt thi Thi thử
Top 8 Đề kiểm tra Toán 8 Học Kì 1 Chương 1 Hình học có đáp án, cực hay

9 đề 7995 lượt thi Thi thử
Đề thi Giữa học kì 2 Toán 8 chọn lọc, có đáp án

11 đề 7240 lượt thi Thi thử
Top 12 Đề kiểm tra Toán 8 Học Kì 2 Chương 3 Đại Số có đáp án, cực hay

16 đề 6722 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)

26 đề 6025 lượt thi Thi thử
Tổng hợp bài tập Toán 8 Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn

13 đề 5507 lượt thi Thi thử
Top 4 Đề thi Toán 8 Học kì 2 có đáp án, cực sát đề chính thức

7 đề 5383 lượt thi Thi thử
Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có lời giải chi tiết)

2 đề 5379 lượt thi Thi thử
Đề thi Toán lớp 8 Học kì 1 năm 2020 - 2021 cực hay, có đáp án

9 đề 5153 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »