Cho các tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. Gọi $A_1,B_1,C_1$  lần lượt là hình chiếu của O lên BC, CA, AB. Lấy các điểm $A_2,B_2,C_2$  lần lượt thuộc các tia $O{A}_1,O{B}_1,O{C}_1$  sao cho $O{A}_2=a,O{B}_2=b,O{C}_2=c$ . Chứng minh O là trọng tâm tam giác $A_2{B}_2{C}_2$

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right|$

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DN}=k\overrightarrow{DC}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$

Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau :

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|$

Trên hai tia Ox và Oy của góc xOy lấy hai điểm M, N sao cho $OM+ON=a$  với a là số thực cho trước. tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thằng MN

Cho $\Delta ABC$  và $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$  có cùng trọng tâm G, gọi $G_1,G_2,G_3$  là trọng tâm các tam giác$BCA\text{'},CAB\text{'},ABC\text{'}$ .Chứng minh rằng $\Delta G_1{G}_2{G}_3$  cũng có trọng tâm G

b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=k\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right)$  với k là số thực thay đổi

Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thoả mãn: $a^2\overrightarrow{GA}+b^2\overrightarrow{GB}+c^2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.$  là tam giác gì ?

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.tứ giác ABCD là hình gì?

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC của tứ giác ABCD. Các đoạn thẳng AN và BM cắt nhau tại P. Biết $\overrightarrow{PM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BM};\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AN}$ . tứ giác ABCD là hình gì?

Cho tam giác ABC  có A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất $T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$

Cho tam giác ABC đều và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi $A_1,B_1,C_1$  lần lượt là điểm đối xứng M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng tam giác ABC và $A_1,B_1,C_1$  có cùng trọng tâm.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. A', B', C' là các điểm thỏa mãn:$\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OA\text{'}},\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{OB\text{'}},\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OC\text{'}}$. Chứng minh rằng G là trực tâm tam giác A'B'C'.