Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Đường thẳng AM cắt BC tại D, BM cắt CA tại E và CM cắt AB tại F. Chứng minh rằng nếu thì M là trọng tâm tam giác ABC.
Giải bởi Vietjack
Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau
Cho ba véc tơ đôi một không cùng phương và thỏa mãn điều kiện :
Chứng minh rằng : . Thật vậy :
Dễ thấy thì suy ra ngay n, n’, p, p’ cũng phải khác không.
Từ giả thiết ta có :
vì một véc tơ chỉ phân tích được một cách duy nhất qua hai véc tơ không cùng phương nên
Trở lại bài toán
Ta có
Mặt khác , tương tự và
(với )
Do đó ta có
Mặt khác ta cũng có
Áp dụng bổ đề suy ra hay M trùng trọng tâm tam giác ABC
Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.
Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau :
a)
Trên hai tia Ox và Oy của góc xOy lấy hai điểm M, N sao cho với a là số thực cho trước. tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thằng MN
Cho và có cùng trọng tâm G, gọi là trọng tâm các tam giác .Chứng minh rằng cũng có trọng tâm G
Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thoả mãn: là tam giác gì ?
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn .tứ giác ABCD là hình gì?
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC của tứ giác ABCD. Các đoạn thẳng AN và BM cắt nhau tại P. Biết . tứ giác ABCD là hình gì?
Cho tam giác ABC có A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Cho các tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. Gọi lần lượt là hình chiếu của O lên BC, CA, AB. Lấy các điểm lần lượt thuộc các tia sao cho . Chứng minh O là trọng tâm tam giác
Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
Cho tam giác ABC đều và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi lần lượt là điểm đối xứng M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng tam giác ABC và có cùng trọng tâm.
