Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số fx=x−1+3−x−2−x2+4x−3.

Chọn C. TXĐ: D=1;3. Đặt t=x−1+3−x 2≤t≤2 →t2=x−1+3−x+2x−13−x→−2−x2+4x−3=2−t2. Khi đó, bài toán trở thành Tìm giá trị lớn nhất của hàm số gt=−t2+t+2 trên đoạn 2;2'' . Xét hàm số gt=−t2+t+2 xác định và liên tục trên 2;2. Đạo hàm g't=−2t+1<0, ∀t∈2;2. Suy ra hàm số gt nghịch biến trên đoạn 2;2. Do đó max2;2gt=g2=2→max1;3fx=2. Bình luận: Sau khi đọc xong lời giải trên sẽ có nhiều bạn đọc thắc mắc là tại sao biết được t∈2;2. Từ phép đặt ẩn phụ t=x−1+3−x=hx . Đạo hàm h'x=12x−1−123−x→h'x=0⇔x=2∈1;3. Ta có h1=2h2=2h3=2→min1;3hx=2max1;3hx=2→2≤hx≤2→2≤t≤2.

Câu hỏi:

05/01/2023 124

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $f (x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x} - 2 \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3}$ .

A. M=0

B. $M = - \sqrt{2} .$

C. $M = \sqrt{2} .$

Đáp án chính xác

D. $M = \frac{9}{4} .$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C.

TXĐ: $D = [1; 3] .$

Đặt $t = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x} (\sqrt{2} \leq t \leq 2)$

$\overset{}{\to} t^{2} = x - 1 + 3 - x + 2 \sqrt{x - 1} \sqrt{3 - x} \overset{}{\to} - 2 \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} = 2 - t^{2} .$

Khi đó, bài toán trở thành Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g (t) = - t^{2} + t + 2$ trên đoạn $[\sqrt{2}; 2]''$ .

Xét hàm số $g (t) = - t^{2} + t + 2$ xác định và liên tục trên   $[\sqrt{2}; 2] .$

Đạo hàm $g^{'} (t) = - 2 t + 1 < 0, \forall t \in (\sqrt{2}; 2)$ .

Suy ra hàm số $g (t)$ nghịch biến trên đoạn   $[\sqrt{2}; 2] .$

Do đó $\max_{[\sqrt{2}; 2]} g (t) = g (\sqrt{2}) = \sqrt{2} \overset{}{\to} \max_{[1; 3]} f (x) = \sqrt{2} .$

Bình luận: Sau khi đọc xong lời giải trên sẽ có nhiều bạn đọc thắc mắc là tại sao biết được $t \in [\sqrt{2}; 2]$ .

Từ phép đặt ẩn phụ $t = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x} = h (x)$ .

Đạo hàm   $h^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{3 - x}} \overset{}{\to} h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [1; 3] .$

Ta có   $\{\begin{cases} h (1) = \sqrt{2} \\ h (2) = 2 \\ h (3) = \sqrt{2} \end{cases} \overset{}{\to} \{\begin{cases} \min_{[1; 3]} h (x) = \sqrt{2} \\ \max_{[1; 3]} h (x) = 2 \end{cases} \overset{}{\to} \sqrt{2} \leq h (x) \leq 2 \overset{}{\to} \sqrt{2} \leq t \leq 2.$

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$ trên đoạn $[- 1; 2] .$

Xem đáp án » 05/01/2023 176

Câu 2:

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x^{2} + x + 1}{x + 1}$ . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn [0;1]

Xem đáp án » 05/01/2023 163

Câu 3:

Tập giá trị của hàm số $f (x) = x + \frac{9}{x}$ với $x \in [2; 4]$ là đoạn $[a; b]$ . Tính $P = b - a$ .

Xem đáp án » 05/01/2023 162

Câu 4:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = \frac{x^{2} + 3}{x - 1}$ trên đoạn $[2; 4]$ .

Xem đáp án » 05/01/2023 155

Câu 5:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ trên đoạn $[1; 3] .$

Xem đáp án » 05/01/2023 149

Câu 6:

Cho hàm số $f (x) = - 2 x^{4} + 4 x^{2} + 10$ . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn [0;2]

Xem đáp án » 05/01/2023 148

Câu 7:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 5$ trên đoạn $[- 2; 2] .$

Xem đáp án » 05/01/2023 146

Câu 8:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ trên đoạn $[- 2; - \frac{1}{2}]$ . Tính $P = M - m$ .

Xem đáp án » 05/01/2023 144

Câu 9:

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $f (x) = |- x^{2} - 4 x + 5|$ trên đoạn $[- 6; 6]$ .

Xem đáp án » 05/01/2023 142

Câu 10:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{2 x + 14} + \sqrt{5 - x}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 05/01/2023 134

Câu 11:

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ trên khoảng $(0; + \infty) .$

Xem đáp án » 05/01/2023 132

Câu 12:

Cho hàm số $f (x) = \frac{3 x - 1}{x - 3}$ . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn $[0; 2] .$

Xem đáp án » 05/01/2023 131

Câu 13:

Biết rằng hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 28$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;4] tại $x_{0}$ . Tính $P = x_{0} + 2018.$

Xem đáp án » 05/01/2023 128

Câu 14:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên sau

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 05/01/2023 127

Câu 15:

Xét hàm số $y = - x - \frac{4}{x}$ trên đoạn $[- 1; 2]$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 05/01/2023 126

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 35875 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản

6 đề 35139 lượt thi Thi thử
Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 32304 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 22490 lượt thi Thi thử
Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 20668 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 17924 lượt thi Thi thử
Đề thi thử Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải

23 đề 17228 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao

9 đề 16884 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao

6 đề 12411 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản

9 đề 12165 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »