Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(1;-3;2\right),B\left(-2;-1;5\right)$ và C(3;2-1). Gọi (P) là mặt phẳng qua A, trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tìm phương trình mặt phẳng (P).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết rằng $A\left(-3;0;0\right),B\left(0;2;0\right),D\left(0;0;1\right)$ và A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C′.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-3;2) và chứa trục Oz. Gọi $\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Tính $M=\frac{b+c}{a}$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;6;-7) và B(3;2;1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=x^2$ và $y=\sqrt{x}$. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quanh quanh trục Ox.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(1;3;2\right),B\left(2;-1;5\right),C\left(3;2;-1\right)$. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-3;4;-2) và $\overrightarrow{n}=\left(-2;3;-4\right)$. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến là:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2$ và đường thẳng y =mx với $m\ne 0$. Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương m để diện tích hình phẳng (H) là số nhỏ hơn 20?

Cho $\underset{3}{\overset{8}{}}f\left(x+1\right)dx=10$. Tính $J=\underset{0}{\overset{1}{}}f\left(5x+4\right)dx$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt có phương trình là $x+y-z=0$; $x-2y+3z=4$ và cho điểm M(1;-2;5). Tìm phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua M đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (P),v(Q).

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=3x^2+2x+1$ và các đường thẳng y =0, x =-1, x =1. Tính diện tích S của hình phẳng (H).

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [-1;1] thỏa mãn $\underset{-1}{\overset{1}{}}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=5$ và f(-1)= 4. Tìm f(1).

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x+1}$ và các đường thẳng y =0, x =0, x =2. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quanh quanh trục Ox.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{m}=\left(4;3;1\right),\overrightarrow{n}=\left(0;0;1\right)$. Gọi $\overrightarrow{p}$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\left[\overrightarrow{m};\overrightarrow{n}\right]$ (tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{m}$ và $\overrightarrow{n}$). Biết $\left|\overrightarrow{p}\right|=15$, tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{p}$.

Cho hàm số y =f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. Gọi (H) là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x), trục Ox và hai đường thẳng x =a và x =b. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thanh khi quay (H) quanh trục Ox được tính theo công thức

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-6) và bán kính R =4 có phương trình là: