Giải bởi Vietjack
Lời giải
Chọn C
Lấy các điểm \(C',\,\)\(D'\) lần lượt trên cạnh và \(AC,AD\) sao cho \(AB = AC' = AD' = 3\).
Áp dụng định lí Côsin ta có:
\(BD{'^2} = A{B^2} + A{D^{'2}} - 2AB.AD'\cos \widehat {BAD} = 9 + 9 - 2.9.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 9.3 = 27 \Leftrightarrow BD' = 3\sqrt 3 \).
Tam giác \(BAC'\) là tam giác đều nên \(BC' = 3\), tam giác \(D'AC'\) vuông tại \(A\) nên \(C'D' = 3\sqrt 2 \).
Xét tam giác \(BD'C'\) có \(B{D^{'2}} = B{C^{'2}} + C'{D^{'2}}\), nên tam giác vuông tại \(C'\).
Gọi \(H\)là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\left( {BD'C'} \right)\), vì \(AB = AC' = AD'\) nên \(HB = HC' = HD'\). Mặt khác, tam giác \(BD'C'\) vuông tại \(C'\) nên \(H\)là trung điểm của \(BD'\).
Ta có, \(AH = \sqrt {A{B^2} - \frac{{B{D^{'2}}}}{4}} = \sqrt {9 - \frac{{27}}{4}} = \frac{3}{2}\).
Thể tích khối tứ diện \(ABC'D'\) bằng
\({V_{ABC'D'}} = \frac{1}{3}AH.{S_{BC'D'}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{2}.\frac{1}{2}.3.3\sqrt 2 = \frac{{9\sqrt 2 }}{4}\)
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có
\(\frac{{{V_{ABC'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AC'.AD'}}{{AC.AD}} = \frac{3}{4}.\frac{3}{6} = \frac{9}{{24}} \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{{24}}{9}{V_{ABC'D'}} = 6\sqrt 2 \).
