Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\) và \(P\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(BC\), \(CD\) và \(SA\). Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) chia khối chóp thành hai phần có thể tích lần lượt là \({V_1}\) và \({V_2}\). Biết rằng \({V_1} \le {V_2}\), tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)

Lời giải

Chọn A

Ta có \(BH = \frac{1}{3}AH\) suy ra \(B\) là trọng tâm của tam giác \(SAT\).

Do đó, \(\frac{{BQ}}{{BU}} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{BQ}}{{BS}} = \frac{1}{4}\). Tương tự ta có, \(\frac{{DR}}{{SD}} = \frac{1}{4}\).

\(\frac{{{V_{S.PRN}}}}{{{V_{S.ADN}}}} = \frac{{SP}}{{SA}}.\frac{{SR}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{3}{4} = \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{{{V_{S.PRN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{3}{{32}}\).

Tương tự, ta có \(\frac{{{V_{S.PQM}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{3}{{32}}\).

Lại có \(\frac{{{V_{S.PMN}}}}{{{V_{S.AMN}}}} = \frac{{SP}}{{SA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{{V_{S.PMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{3}{{16}}\).

\(\frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{8}\).

Suy ra thể tích khối đa diện chứa đỉnh \(S\) là \({V_1} = \left( {\frac{3}{{32}} + \frac{3}{{32}} + \frac{3}{{16}} + \frac{1}{8}} \right){V_{SABCD}} = \frac{1}{2}{V_{SABCD}}\).

Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 1\).