Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\)để hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + 2018\)nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải

Chọn A

Cách 1. (tự luận)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

\(y' = - {x^2} - 2mx + 2m - 3\).

Hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)với \(a \ne 0\)nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)khi và chỉ khi \[y' \le 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\{\Delta _{y'}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\\4{m^2} + 8m - 12 \le 0\;\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le m \le 1\]

Cách 2. (trắc nghiệm)

Ta có\(y\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\{b^2} - 3ac \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{3} < 0\\{( - m)^2} - 3.\left( { - \frac{1}{3}} \right).(2m - 3) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le m \le 1\]