Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\left(\sqrt{x}+\frac{a}{\sqrt{x}}\right)\left(\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{x}}\right);$

với $x>0,a$  và b   là các hằng số dương cho trước .

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn, từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai tiếp điểm).

1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.

2) Vẽ đường kính CE, nối AE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F.

Chứng minh AB² = AE.AF.

3) Cho OA cắt BC tại H, BF cắt OA tại I. Chứng minh I là trung điểm của AH.

Một cái chai có chứa một lượng nước, phần chứa nước là hình trụ có chiều cao 10cm, khi lật ngược chai lại thì phần không chứa nước cũng là một hình trụ có chiều cao 8 cm (như hình vẽ bên. Biết thể tích của chai là $450\pi {\text{cm}}^3$. Tính bán kính của đáy chai (giả sử độ dày của thành chai và đáy chai không đáng kể).

Một công ty dự định thuê một số xe lớn cùng loại để chở vừa hết 210 người đi du lịch Mũi Né. Nhưng thực tế, công ty lại thuê toàn bộ xe nhỏ hơn cùng loại. Biết rằng số xe nhỏ phải thuê nhiều hơn số xe lớn là 2 chiếc thì mới chở vừa hết số người trên và mỗi xe nhỏ chở ít hơn mỗi xe lớn là 12 người. Tính số xe nhỏ đã thuê.

Cho hàm số y = x² có đồ thị (P).

1) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

2) Tìm giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng $\left(d\right):y=2mx-m^2+1$ cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x₁ , x₂ thỏa mãn x₁ < 2024 < x₂.

Rút gọn các biểu thức sau: $B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{3\sqrt{x}}$ với $0<x$ và $x\ne 1$

Rút gọn các biểu thức sau: $A=\left(\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{48}\right)\sqrt{3}$

Giải phương trình và hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{c}-x+3y=5\\ x+y=3\end{array}\right.$

Giải phương trình và hệ phương trình sau: $x^2+2x-3=0$