Cho hàm số: \(y = \frac{m}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + 3(m - 2)x + 1\)để hàm số đạt cực đại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1 thì giá trị của m bằng?
Giải bởi Vietjack
Ta có: y' = mx2 – 2(m – 1)x + 3(m – 2) (m ≠ 0)
Để hàm số có cực đại tại x1 và cực tiểu tại x2 thì phương tình
y' = mx2 – 2(m – 1)x + 3(m – 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
\( \Rightarrow \Delta '\) = (m – 1)2 – 3m(m – 2) = −2m2 + 4m + 1 > 0
\( \Rightarrow 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{2} < m < 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{2}\) (1)
Khi đó áp dụng định lý Vi−ét, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2(m - 1)}}{m}\,\,(2)\\{x_1}{x_2} = \frac{{3(m - 2)}}{m}\,\,(3)\end{array} \right.\)
Mặt khác theo bài cho ta có: x1 + 2x2 = 1 (4)
Nếu 2x1 + x2 = 0 (5)
Từ (4) và (5) \( \Rightarrow {x_1} = - \frac{1}{3};{x_2} = \frac{2}{3}\).
Thay vào (2) ta có: \(2\frac{{m - 1}}{m} = \frac{1}{3} \Rightarrow m = \frac{6}{5}\)
Thay vào (3) ta có: \(3\frac{{m - 2}}{m} = - \frac{2}{9} \Rightarrow m = \frac{{54}}{9}\)
Suy ra 2x1 + x2 ≠ 0
Khi đó nhân hai vế của (4) với 2x1 + x2 ta có:
(x1 + 2x2)(2x1 + x2) = 2x1 + x2
\( \Leftrightarrow \) 2(x1 + x2)2 + x1x2 = 2x1 + x2
Thay (2) và (3) vào ta được:
\(8\frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3\frac{{m - 2}}{m} = 2{x_1} + {x_2}\)
\( \Leftrightarrow 8\frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3\frac{{m - 2}}{m} + 1 = 2{x_1} + {x_2} + {x_1} + 2{x_2}\)
\( \Leftrightarrow 8\frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3\frac{{m - 2}}{m} + 1 = 3({x_1} + {x_2})\)
\( \Leftrightarrow 8\frac{{{{(m - 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 3\frac{{m - 2}}{m} + 1 = 6\frac{{m - 1}}{m}\)
\( \Leftrightarrow 8{(m - 1)^2} + 3m(m - 2) + {m^2} = 6m(m - 1)\)
\( \Leftrightarrow 3{m^2} - 8m + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = 2\end{array} \right.\) (TMĐK)
Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(m = \frac{2}{3}\); m = 2.
Cho đường tròn (O; 4 cm), đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AO sao cho OH = 1 cm. Kẻ dây cung DC vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh ∆ABC vuông và tính độ dài AC.
b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại E. Chứng minh ∆CBD cân và \(\frac{{EC}}{{DH}} = \frac{{EA}}{{DB}}\).
c) Gọi I là trung điểm của EA; đoạn IB cắt (O) tại Q. Chứng minh CI là tiếp tuyến của (O) cà từ đó suy ra \(\widehat {ICQ} = \widehat {CBI}\).
d) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt IC tại F. Chứng minh ba đường thẳng IB, HC, AF đồng quy.
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Từ H kẻ HE vuông góc với AB và kẻ HF vuông góc với AC.
a) CM: AE.AB = AF.AC;
b) Cho biết AB = 4 cm, AH = 3 cm. Tính AE và BE;
c) Cho biết \[\widehat {HAC} = 30^\circ \]. Tính FC.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K (K khác B và M). Gọi H là giao điểm của AK và MN.
a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AK.AH = R2.
Cho hình vẽ biết xx’ // yy’ và \(\widehat {xAB} = 70^\circ \). Tính số đô góc \(\widehat {yBz'}\) và \(\widehat {ABy}\).
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Tổng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} \) bằng:
Viết tập hợp A là các số \(x\,\, \vdots \,\,5\), thỏa mãn 124 < x < 145 bằng cách liệt kê các phần tử.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Tứ giác ADHE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh: AB2 = AH.BC.
Cho hình vẽ:
a) Giải thích tại sao xx’ // yy’.
b) Tính số đo \(\widehat {MNB}\).
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.
Cho đường tròn (O) bán kính OA = 4 cm. Dây BC vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC.
1) Xác định hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị hàm số đi qua hai điểm
A(2; −4) và B(−1; 5).
2) Trên hệ trục tọa độ Oxy, vẽ đồ thị hàm số y = −2x + 1.
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có BC = 15 cm. Điểm E thuộc cạnh AD sao cho \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{1}{3}\). Qua E kẻ đường thẳng song song với CD cắt BC tại F. Tính độ dài BF.
Rút gọn biểu thức:
S = cos(90° − x).sin(180° − x) – sin(90° − x).cos(180° − x).
