Cho hình vuông ABCD, gọi O là tâm của hình vuông. Một đường thẳng qua O cắt AD tại P, cắt BC tại Q.
a) Chứng minh AP = CQ
b) Kẻ Px vuông góc AC tại E (E thuộc AC). Kẻ Qy vuông góc BD tại F (F thuộc BD), Px và Qy cắt nhau tại M. Chứng minh OEMF là hình chữ nhật.
c) Chứng minh M thuộc cạnh AB
d) Lấy K thuộc BC sao cho CK = DP. Chứng minh \(\widehat {MOK} = 90^\circ \).
Giải bởi Vietjack
a) Vì ABCD là hình vuông tâm O
Nên OA = OB = OC = OD, AB = BC = CD = DA, AD // BC
Suy ra \(\widehat {DAC} = \widehat {ACB}\) (hai góc so le trong)
Xét tam giác AOP và tam gíc COQ có
\(\widehat {DAC} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên)
OA = OC (chứng minh trên)
\(\widehat {AOP} = \widehat {COQ}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó ΔAOP = ΔCOQ (g.c.g)
Suy ra AP = CQ (hai cạnh tương ứng)
b) Vì AB = AD nên tam giác ABD cân tại A
Mà AO là đường trung tuyến
Suy ra AO là đường cao
Hay AO ⊥ BD
Xét tứ giác OEMF có
\(\widehat {OEM} = \widehat {EOF} = \widehat {OFM} = 90^\circ \)
Suy ra OEMF là hình chữ nhật
c) Vì OEMF là hình chữ nhật
Nên \[\widehat {FME} = 90^\circ \]
Hay tam giác PMQ vuông tại M
Mà MO là trung tuyến
Suy ra OM = OP = OQ
Do đó tam giác POM cân tại O
Lại có OE là đường cao nên OE là phân giác của \(\widehat {POM}\)
Suy ra \(\widehat {POE} = \widehat {EOM}\)
Xét tam giác AOP và tam giác AOM có
AO là cạnh chung
\(\widehat {POE} = \widehat {EOM}\) (chứng minh trên)
OM = OP (chứng minh trên)
Suy ra △AOP = △AOM (c.g.c)
Do đó \(\widehat {AP{\rm{O}}} = \widehat {AM{\rm{O}}}\) (hai góc tương ứng)
Ta có OM = OQ
Do đó tam giác QOM cân tại O
Lại có OF là đường cao nên OF là phân giác của \(\widehat {QOM}\)
Suy ra \(\widehat {QOF} = \widehat {FOM}\)
Xét tam giác BOQ và tam giác BOM có
BO là cạnh chung
\(\widehat {QOF} = \widehat {FOM}\) (chứng minh trên)
OM = OQ (chứng minh trên)
Suy ra △ BOQ = △BOM (c.g.c)
Do đó \(\widehat {{\rm{BQO}}} = \widehat {BM{\rm{O}}}\) (hai góc tương ứng)
Vì AD // BC nên \(\widehat {AP{\rm{O}}} + \widehat {BQO} = 180^\circ \)
Mà \(\widehat {{\rm{BQO}}} = \widehat {BM{\rm{O}}}\), \(\widehat {AP{\rm{O}}} = \widehat {AM{\rm{O}}}\)
Suy ra \(\widehat {AM{\rm{O}}} + \widehat {BMO} = 180^\circ \)
Hay \(\widehat {AMB} = 180^\circ \)
Do đó A, M, B thẳng hàng
Vậy M thuộc cạnh AB
d) Ta có: AP = AD – DP, BK = BC – CK
Mà AD = BC, PD = CK
Suy ra AP = BK
Vì ABCD là hình vuông tâm O
Nên \(\widehat {DAO} = \widehat {OBC} = 45^\circ \)
Xét tam giác POA và tam giác KOB có
OA = OB
\(\widehat {DAO} = \widehat {OBC}\) (chứng minh trên)
PA = BK (chứng minh trên)
Suy ra △POA = △KOB (c.g.c)
Do đó \(\widehat {POA} = \widehat {K{\rm{OB}}}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {POA} = \widehat {{\rm{AOM}}}\)
Nên \(\widehat {KOB} = \widehat {{\rm{AOM}}}\)
Mặt khác \(\widehat {AOM} + \widehat {{\rm{MOB}}} = \widehat {AOB} = 90^\circ \) (hai góc kề bù)
Suy ra \(\widehat {BOK} + \widehat {{\rm{MOB}}} = 90^\circ \)
Hay \(\widehat {MOK} = 90^\circ \)
Vậy \(\widehat {MOK} = 90^\circ \).
a) Chứng minh DE = BF.
b) Tia DE cắt BF tại H. Chứng minh \(\widehat {DHF}\) = 90°
c) Gọi I là trung điểm của EF, K là giao điểm của FE và BD. Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành.
d) Chứng minh A, H, K thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \), rồi suy ra cosA
b) Gọi G là trọng tâm của △ABC. Tính \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {BC} \)
c) Tính giá trị biểu thức S = \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GA} \)
d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D ∈ BC). Tính \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} \) theo \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} \)suy ra AD.
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tùy ý không nằm trên đường thẳng AB. Trên MI kéo dài, lấy một điểm N sao cho IN = MI.
a) Chứng minh: \(\overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {MB} \)
b) Tìm các điểm D, C sao cho \(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NI} = \overrightarrow {N{\rm{D}}} ;\overrightarrow {NM} - \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {NC} \).
Cho (O;R) đường kính AD, dây AB , qua B kẻ dây BC vuông góc AD tại H . Tính bán kính R của đường tròn biết AB = 10 cm, BC = 12 cm.
Một chiếc cổng hình parabol dạng y = \( - \frac{1}{2}{x^2}\) có chiều rộng d = 8m. Hãy tính chiều cao h của cổng (Xem hình minh họa bên cạnh)
Một số nếu giảm xuống 3 lần rồi bớt đi 14,6 thì được kết quả là 30,4. Tìm số đó.
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {E{\rm{A}}} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {E{\rm{D}}} \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {EC} = \overrightarrow {A{\rm{E}}} - \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} \).
Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {O{\rm{D}}} = \overrightarrow 0 \)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AD. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C, biết AB = BC = \(2\sqrt 5 \) cm, CD = 6 cm. Tìm bán kính đường tròn.
Xác định đường thẳng đi qua A(4 ; 3), cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 số nguyên dương, cắt trục hoành tại 1 điểm có hoành độ là 1 số nguyên tố.
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {CF} \)
Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {C{\rm{D}}} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {CB} \).
Tìm x, y, z biết \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z - 5}}{6}\) và 5z – 3x – 4y = 50.
Cho tứ giác ABCD có AB = AD; CB = CD (ta gọi tứ ABCD trong trường hợp này là tứ giác có hình ảnh cánh diều)
a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD
b) Tính góc B và góc D (biết \(\widehat A = 100^\circ ,\widehat C = 60^\circ \)).
