Cho tam giác ABC nhọn có \(\widehat A = 70^\circ \) và điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB. Gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Đường thẳng EF cách AB, AC theo thứ tự tại M, N.
a) Tính các góc của tam giác AEF.
b) Chứng minh rằng DA là tia phân giác của góc MDN.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì E đối xứng D qua AB nên AB là trung trực của DE
Suy ra AE = AD
Do đó tam giác AED cân tại A
Mà AB là đường trung trực
Suy ra AB là phân giác của \(\widehat {DA{\rm{E}}}\)
Do đó \(\widehat {DAB} = \widehat {BA{\rm{E}}} = \frac{1}{2}\widehat {DA{\rm{E}}}\)
Vì F đối xứng D qua AC nên AC là trung trực của DF
Suy ra AF = AD
Do đó tam giác AFD cân tại A
Mà AC là đường trung trực
Suy ra AC là phân giác của \(\widehat {DAF}\)
Do đó \(\widehat {DAC} = \widehat {CAF} = \frac{1}{2}\widehat {DAF}\)
Ta có \(\widehat {F{\rm{AE}}} = \widehat {F{\rm{AD}}} + \widehat {DAE} = 2\widehat {CA{\rm{D}}} + 2\widehat {BAD} = 2\widehat {BAC} = 2.70^\circ = 140^\circ \)
Ta có AF = AE (= AD)
Suy ra tam giác AFE cân tại A, do đó \[\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{AEF}}}\]
Xét tam giác AEF có
\[\widehat {{\rm{AFE}}} + \widehat {{\rm{AEF}}} + \widehat {F{\rm{AE}}} = 180^\circ \] (tổng ba góc trong một tam giác)
Mà \[\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{AEF}}},\widehat {FA{\rm{E}}} = 140^\circ \] (chứng minh trên)
Suy ra \[\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{AEF}}} = \frac{{180^\circ - 140^\circ }}{2} = 20^\circ \]
b) Xét DAME và DAMD có
AM là cạnh chung;
\(\widehat {E{\rm{A}}M} = \widehat {DAM}\)(chứng minh trên);
AD = AE (chứng minh trên)
Do đó DAME = DAMD (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {{\rm{AE}}M} = \widehat {ADM}\) (hai góc tương ứng)
Xét DANF và DAND có
AN là cạnh chung;
\(\widehat {{\rm{FAN}}} = \widehat {DAN}\)(chứng minh trên);
AD = AF (chứng minh trên)
Do đó DANF = DAND (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {{\rm{AFN}}} = \widehat {ADN}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {{\rm{AE}}M} = \widehat {ADM}\), \[\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{AEF}}}\]
Suy ra \(\widehat {{\rm{ADM}}} = \widehat {ADN}\)
Do đó DA là tia phân giác của góc MDN.
c) Gọi giao điểm của DE và AB là P, giao điểm của DF và AC là Q
Khi đó P là trung điểm của DE, Q là trung điểm của DF
Xét tam giác DFE có P, Q lần lượt là trung điểm của DE, DF
Suy ra PQ là đường trung bình
Do đó PQ // FE và \(PQ = \frac{1}{2}F{\rm{E}}\)
Vì M thuộc trung trực của DE nên MD = ME
Vì N thuộc trung trực của DF nên ND = NF
Chu vì tam giác DMN là
DM + DN + MN = ME + NF + MN = FE
Để chu vi tam giác DMN nhỏ nhất
⇔ FE nhỏ nhất
⇔ PQ nhỏ nhất (vì \(PQ = \frac{1}{2}F{\rm{E}}\))
⇔ PQ // BC và \(PQ = \frac{1}{2}BC\)
⇔ PQ là đường trung bình của tam giác ABC
⇔ D là trung điểm của BC
Vậy D là trung điểm của BC thì chu vi tam giác DMN nhỏ nhất.
Cho tam giác abc vuông tại A, M là trung điểm của BC, D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.
a) Tứ giác ADME là hình gì, tại sao?
b) Chứng minh \(DE = \frac{1}{2}BC\)
c) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của MC, chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành.
Từ đó chứng minh: tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.
d) Tam giác vuông ABC ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật?
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.
a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính số đo góc B, góc C (làm tròn đến độ) và đường cao AH.
b) Chứng minh rằng AB. cos B + AC . cosC = BC.
c) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DC = 2DA. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\).
Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính độ dài của các vecto:
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BH} } \right|,\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|,\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|\).
Cho tam giác ABC đều cạnh a, tâm O. Hãy tính:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \).
c) \(\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\).
d) \(\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {BC} } \right)\).
Cho hàm số y = ax – 4 . Tìm hệ số a, biết rằng
a) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2;
b) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = –3x + 2 tại điểm có tung độ bằng 5.
Cho tam giác ABC điểm M nằm trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Gọi A’, B’, C’ thứ tự là điểm đối xứng của M qua D, E, F
a) Chứng minh tứ giác AB’A’B là hình bình hành.
b) Gọi O là giao điểm của AA’ và BB’, chứng minh C và C’ đối xứng nhau qua điểm O.
