Giải bởi Vietjack
Lời giải
ĐK: 1 + 2sin2x ≠ 0 (*)
Ta có \(5\left( {\sin x + \frac{{\cos 3x + \sin 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right) = \cos 2x + 3\).
\( \Leftrightarrow 5\left[ {\frac{{\sin x\left( {1 + 2\sin 2x} \right) + \cos 3x + \sin 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right] = \cos 2x + 3\)
Þ 5.(sinx + 2sinx.sin2x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
⇔ 5.(sinx + cosx – cos3x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
⇔ 5.(sinx + sin3x + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
⇔ 5.(2sin2x.cosx + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
⇔ 5cosx.(2sin2x + 1) – (cos2x + 3)(1 + 2sin2x) = 0
⇔ (2sin2x + 1)(5cosx – cos2x – 3) = 0
⇔ (2sin2x + 1)(5cosx – 2cos2x + 1 – 3) = 0
⇔ (2sin2x + 1)(–2cos2x + 5cosx – 2) = 0
Û –2cos2x + 5cosx – 2 = 0 (do 2sin2x + 1 ≠ 0)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 2\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
So với điều kiện (*), nhận \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
• Vì x thuộc [0; 2π] nên \(0 \le \frac{\pi }{3} + k2\pi \le 2\pi \).
\( \Leftrightarrow - \frac{\pi }{3} \le k2\pi \le \frac{{5\pi }}{3}\)
\( \Leftrightarrow - \frac{1}{6} \le k \le \frac{5}{6}\)
Mà k ∈ ℤ nên k = 0
Khi đó \(x = \frac{\pi }{3}\).
• Vì x thuộc [0; 2π] nên \(0 \le - \frac{\pi }{3} + k2\pi \le 2\pi \).
\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} \le k2\pi \le \frac{{7\pi }}{3}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{6} \le k \le \frac{7}{6}\)
Mà k ∈ ℤ nên k = 1
Khi đó \(x = \frac{{5\pi }}{3}\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{3}} \right\}\).
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. CF cắt BE tại H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF. Tính số đo cung EHF, diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) nếu \(\widehat {BAC} = 60^\circ \), AH = 4 cm.
c) AH giao BC tại D. Chứng minh FH là tia phân giác của \(\widehat {DFE}\).
d) Chứng minh 2 tiếp tuyến của (O) tại E, F và AH đồng quy tại một điểm.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh rằng ∆ABD = ∆ACD và AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).
b) Vẽ DM vuông góc với AB tại M. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = AM. Chứng minh ∆ADM = ∆ADN và DN vuông góc AC.
c) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng CN. Trên tia đối của tia KD lấy điểm E sao cho KE = KD. Chứng minh M, E, N thẳng hàng.
Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E.
a) Chứng minh CD vuông góc với AB, BE vuông góc với AC.
b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh AK vuông góc với BC.
Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh:
a) ∆ADB = ∆ADC.
b) AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) và \(\widehat B = \widehat C\).
c) AD vuông góc với BC.
a) Cho biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\] với x ≥ 0. Tính giá trị của A khi x = 16.
b) Cho biểu thức \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{5}{{1 - \sqrt x }} + \frac{4}{{x - 1}}\) với x ≥ 0; x ≠ 1. Rút gọn B.
c) Tìm các số hữu tỉ x để P = A.B có giá trị nguyên.
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \).
b) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \).
c) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
