Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN.
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB.
b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc một đường tròn và \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\).
c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng hàng.
Giải bởi Vietjack
a) Ta có:
• \(\widehat {OBA} = 90^\circ \) (AB là tiếp tuyến của (O))
• \(\widehat {OCA} = 90^\circ \) (AC là tiếp tuyến của (O))
Xét tứ giác ABOC có \(\widehat {OBA} + \widehat {OCA} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.
Xét ∆ABM và ∆ANB có:
\(\widehat {NAB}\) là góc chung.
\(\widehat {ANB} = \widehat {ABM}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM).
Suy ra ∆ABM đồng dạng ∆ANB (g.g)
Từ đó suy ra \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{BM}}{{NB}} \Leftrightarrow AB.BM = AM.NB\) (đpcm)
b) Tứ giác ABOC nội tiếp có \(\widehat {OBA} = 90^\circ \) suy ra OA là đường kính cũng suy ra tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA.
Ta có OK ⊥ MN (tính chất đường kính đi qua trung điểm dây cung thì vuông góc với dây đó).
Suy ra \(\widehat {OKM} = \widehat {OKA} = 90^\circ \) dẫn đến K thuộc đường tròn đường kính OA.
Vậy 5 điểm A, B, C, O, K cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA.
Vì ∆ABM đồng dạng ∆ANB (cmt) nên ta có:
\(\frac{{AB}}{{AN}} = \frac{{AM}}{{AB}}\)
\( \Leftrightarrow \) AB2 = AM.AN
Mà ta cũng có AB2 = AH.AO (∆ABO vuông tại B có đường cao BH).
Suy ra AM . AN = AH . AO
\(\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AN}}\)
Xét ∆AMH và ∆AON có:
\(\widehat {OAN}\)là góc chung
\(\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AN}}\) (cmt)
Suy ra ∆AMH đồng dạng ∆AON (c.g.c)
Từ đó suy ra \(\widehat {AMH} = \widehat {AON}\) (hai góc tương ứng).
c) Ta có MH // AC (cùng vuông góc với OC).
Suy ra \(\widehat {KMH} = \widehat {KAC}\) (hai góc đồng vị).
Ta lại có \(\widehat {KBC} = \widehat {KAC}\) (tứ giác KBAC nội tiếp)
Từ đó suy ra \(\widehat {KBH} = \widehat {KMH}\) suy ra tứ giác KBMH nội tiếp.
\(\widehat {MKH} = \widehat {MBH}\) (tứ giác KBMH nội tiếp)
\(\widehat {MNC} = \widehat {MBC}\) (tứ giác NBMC nội tiếp đường tròn (O))
⟹ \(\widehat {MKH} = \widehat {MNC} \Rightarrow KH\,\,{\rm{//}}\,\,NC\) (1)
Ta có H là trung điểm BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
I là trung điểm NB (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây).
Do đó IH là đường trung bình của tam giác NBC hay IH // NC (2)
Từ (1) và (2) suy ra K, H, I thẳng hàng (theo tiên đề Ơ – clit).
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho BM = DN. Vẽ hình bình hành MANF, gọi O là trung điểm của AF. Chứng minh rằng:
Tứ giác MANF là hình vuông.
Tìm m để 2 đường thẳng (d) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung cho hàm số y = (m + 2)x + 2m2 + 1 tìm m để hai đường thẳng (d): y = (m + 2)x + 2m2 + 1 và (d'): y = 3x + 3 cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng mình rằng:
a) \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \);
b) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \);
c) \(\overrightarrow {GH} + 2\overrightarrow {GO} = 0\).
Một người bán một chiếc quạt điện với giá 198 000 đồng thì được lãi 10% tiền vốn một chiếc. Hỏi để lãi 10% giá bán thì người đó phải bán chiếc quạt đó với giá bao nhiêu?
Người ta trồng mía trên một khu đất hình chữ nhật có chiều rộng 130m, chiều dài hơn chiều rộng 70 m. Biết rằng, trung bình cứ 100 \({m^2}\) thu hoạch được 300kg mía. Hỏi khu đất đó thu hoạch được bao nhiêu kg mía?
Có tất cả 18 quả táo, cam và xoài. Số quả cam bằng \(\frac{1}{2}\) số quả táo. Số quả xoài gấp 3 lần số quả cam. Tính số quả táo.
Cả ba con gà, vịt, ngỗng cân nặng 10,5 kg. Biết con gà cân nặng 1,5 kg, vịt nặng hơn gà 0,9 kg. Hỏi con ngỗng cân nặng bao nhiêu ki-lô-gam?
Một hình chữ nhật có nửa chu vi là 26 cm, chiều rộng kém chiều dài 8 cm. Tính diện tích của hình chữ nhật đó
Một mảnh đất hình chữ nhật có nửa chu vi là 194 m chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Trên mảnh đất đó, người ta dành phần đất hình vuông cạnh 16,5 m để làm nhà.
a) Tính diện tích mảnh đất đó?
b) Tính diện tích cách làm nhà?
Ba kho thóc có tổng số 1 012 tạ thóc. Biết \(\frac{1}{2}\) số thóc kho A bằng \(\frac{3}{7}\) số thóc kho B và bằng \(\frac{5}{9}\) số thóc kho C. Tìm số thóc của mỗi kho.
Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đo là số dương.
