Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x - 3\sqrt x }}{{x - 9}} - 1} \right):\left( {\frac{{9 - x}}{{x + \sqrt x - 6}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}} \right)\).
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của x để P < 1.
Giải bởi Vietjack
a) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 9\\x \ne 4\\x \ge 0\end{array} \right.\) (*)
\(P = \left( {\frac{{x - 3\sqrt x }}{{x - 9}} - 1} \right):\left( {\frac{{9 - x}}{{x + \sqrt x - 6}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}} \right)\)
\[ = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - 1} \right]:\left[ {\frac{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}} \right]\]
\[ = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - 1} \right):\left( {\frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}} \right)\]
\[ = \frac{{\sqrt x - \sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}:\left( {\frac{{3 - \sqrt x + \sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}} \right)\]
\[ = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}:\left( { - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}} \right)\]
\[ = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{2 - \sqrt x }}\]
\[ = \frac{3}{{\sqrt x - 2}}\].
b) Ta có \(P < 1 \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x - 2}} < 1\).
\( \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} < 0\).
\( \Leftrightarrow \frac{{5 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} < 0\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - \sqrt x < 0\\\sqrt x - 2 > 0\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}5 - \sqrt x > 0\\\sqrt x - 2 < 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x > 5\\\sqrt x > 2\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x < 5\\\sqrt x < 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \sqrt x > 5\) hoặc \(\sqrt x < 2\).
⇔ x > 25 hoặc x < 4.
So với điều kiện (*), ta nhận x > 25 hoặc 0 ≤ x < 4.
Vậy x > 25 hoặc 0 ≤ x < 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho (O; R), đường kính AB và một điểm M nằm trên (O; R) với MA < MB (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng ABDC là hình thang vuông.
b) AD cắt (O; R) tại E, OD cắt MB tại N. Chứng minh rằng OD vuông góc với MB và DE.DA = DN.DO.
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng tỏ OFDB là hình chữ nhật.
d) AM = R. Tính diện tích tứ giác ACDB theo R.
Mẹ hơn con 30 tuổi, tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Hỏi tuổi của mỗi người?
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 3 cm. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, tia BH cắt AD ở E.
1) Tính AC, BH, \(\widehat {BAC}\).
2) Chứng minh BH.BE = CD2.
3) Kẻ EF vuông góc với BC tại F. Chứng minh .
4) Tính diện tích tam giác BHF.
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình 6x2 + 5y2 = 74.
Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường thẳng AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\).
Với các số 0, 1, 3, 6, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3.
Cho \(\cos a = \frac{4}{5}\) và 0° < a < 90°. Tính sina, tana, cota.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, biết rằng có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau?
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 và AC = 4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(5\overrightarrow {IA} + 4\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\).
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O.BCNM và S.ABCD.
Tìm số tự nhiên x có 3 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số gấp 26 lần số ban đầu.
Tìm các số nguyên x để giá trị của đa thức a(x) = x3 – 2x2 + 3x + 50 chia hết cho giá trị của đa thức b(x) = x + 3.
Cho đường thẳng d: y = –4x + 3.
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d với lần lượt hai trục tọa độ Ox và Oy.
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến d.
d) Tính diện tích tam giác OAB.
Tính \(\frac{{a - x}}{{6{x^2} - ax - 2{a^2}}} - \frac{{a + x}}{{4{a^2} - 4ax - 3{x^2}}}\).
