Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) sao cho C nằm giữa M và D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh: A, B, K thẳng hàng.
Giải bởi Vietjack
MA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
\[\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\](góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Xét △MAC và △MDA:
\[\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\]
\[\widehat M\] chung
Do đó △MAC ᔕ △MDA (g.g)
Suy ra \[\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\]hay MA2 = MC.MD
Xét ∆AMO vuông tại A có AH ^ OM nên ta có:
Þ MH. MO = MA2 (hệ thức lượng trong tam giác)
Þ MH. MO = MC.MD
Mà \[\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\]
Þ △MHC ᔕ △MDC (c.g.c)
\[ \Rightarrow \widehat {MHC} = \widehat {MDO}\]
Þ Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn
Ta có: KC và KD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại K của đường tròn (O)
\[ \Rightarrow \widehat {KDO} = \widehat {KCO} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat {KDO} + \widehat {KCO} = 180^\circ \]
Þ Tứ giác KCOD nội tiếp đường tròn
Mà tứ giác HODC nội tiếp đường tròn
Þ 5 điểm K, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn
Þ HK là phân giác của \[\widehat {CHD}\] (do KC = KD)
Vậy 3 điểm A, B, K thẳng hàng.
Cho các số: 13,1; 13,10; 1,3.103; 1,30.103; 1,3.10−3; 1,30.10−3. Có mấy số có hai chữ số có nghĩa.
Hình vẽ bên có BE ^ BA, CF ^ CA, EH ^ BC, FK ^ BC, BE = BA và CA = CF. Chứng minh: BH = CK.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 2; 1), \[B\left( {\frac{{ - 8}}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)\]. Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).
Lớp 6A có \[\frac{4}{5}\] số học sinh yêu thích môn Toán, \[\frac{7}{{10}}\] số học sinh yêu thích môn ngữ văn, \[\frac{{12}}{{25}}\] số học sinh yêu thích môn Tiếng anh. Hỏi trong 3 môn học trên môn học nào được các bạn lớp 6A thích nhất?
Cho hình chữ nhật ABCD (AB > BC). Từ B kẻ BH vuông góc với AC tại H. Lấy E sao cho H là trung điểm BE, lấy Q đối xứng với C qua H. Tứ giác BCEQ là hình gì? Vì sao?
Biết tổng các hệ của khai triển (x² + 1)n bằng 1024. Hãy tìm hệ số của x¹² trong khai triển trên.
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) sao cho C nằm giữa M và D. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh: M, A, O, I, B cùng nằm trên 1 đường tròn.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB. Trên cung KB lấy một điểm M (khác K; B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP song song với KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM. Chứng minh ΔKMN vuông cân.
Một tấm vải dài 36 m, lần đầu người ta cắt ra 16 mảnh vải, mỗi mảnh vải dài \[1\frac{1}{5}\] m, lần thứ hai người ta cắt được 6 mảnh vải dài như nhau thì vừa hết tấm vải. Hỏi mỗi mảnh vải cắt ra ở lần 2 dài bao nhiêu mét?
Tìm m để hai đồ thị hàm số y = 2x – 1 và y’ = –x + m cắt nhau tại 1 điểm có hoành độ bằng 2.
Bạn Lâm có một tờ giấy màu hình chữ nhật có chiều dài 6 dm, chiều rộng 4 dm. Bạn Lâm cắt các lá cờ hình tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 8cm và 10 cm. Hỏi bạn Lâm cắt được bao nhiêu lá cờ như vậy?
Cho n điểm trên mặt phẳng. Bạn An ký hiệu chúng là A1, A2, ..., An. Bạn Bình ký hiệu chúng là B1, B2, ..., Bn..
Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{A_2}{B_2}} + ... + \overrightarrow {{A_n}{B_n}} = \overrightarrow 0 \].
Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(3; 5); B(1; 2) và C(5; 2). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm MP, NQ. Chứng minh IJ // AE và \[IJ = \frac{1}{4}AE\].
