Cho hàm số y = x + 1 có đồ thị là (d) và hàm số y = –x + 3 có đồ thị là (d’)
a) Vẽ (d) và (d’) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự tại A và B. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
d) Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x + 1 với trục Ox.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Hàm số: y = x + 1
Cho x = 0 thì y = 0 + 1 = 1, ta có điểm M(0; 1)
Cho y = 0 thì 0 = x + 1 nên x = –1, ta có điểm P(–1; 0)
Đồ thị hàm số y = x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm M(0; 1) và P(–1; 0)
+) Hàm số: y = –x + 3
Cho x = 0 thì y = 0 + 3 = 3, ta có điểm N(0; 3)
Cho y = 0 thì 0 = –x + 3 nên x = 3, ta có điểm Q(3; 0)
Đồ thị hàm số y = –x + 3 là đường thẳng đi qua hai điểm N(0; 3) và Q(3; 0)
Ta có hình vẽ sau:
b) Hoành độ của điểm C là nghiệm của phương trình
x + 1 = –x + 3
⇔ 2x = 2
⇔ x = 1
Suy ra y = 1 + 1 = 2
Vậy C(1; 2)
Hoành độ của điểm A là nghiệm của phương trình
x + 1 = 0 ⇔ x = –1
Suy ra A(–1; 0) ≡ P
Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình
–x + 3 = 0 ⇔ x = 3
Suy ra B(3; 0) ≡ Q
c) Ta có AB = OA + OB = 1 + 3 = 4
Áp dụng định lý Pytago ta có
Chu vi tam giác ABC là:
Ta có:
Suy ra tam giác ABC vuông tại C
Diện tích tam giác ABC là
d) Xét tam giác ABC có
\(\sin {\rm{A}} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Suy ra \(\widehat A = 45^\circ \)
Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = x + 1 với trục Ox bằng 45°.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu H trên AB, AC. Chứng minh:
a) \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\);
b) BC2 = 3AH2 + BE2 + CF2;
c) \(BE\sqrt {CH} + CF\sqrt {BH} = AH\sqrt {BC} \).
Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax và By lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho \(\widehat {CO{\rm{D}}} = 90^\circ \) (O là trung điểm của AB). Chứng minh rằng:
a) CD = AC + BD
b) CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
c) \(AC.B{\rm{D}} = \frac{{A{B^2}}}{4}\).
Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH, kẻ BK vuông góc AC. Chứng minh:
\(\frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{4B{C^2}}} + \frac{1}{{4A{H^2}}}\).
Cho tam giác ABC cân tại B. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho AM = CN. Kẻ BH ⊥ AC tại H.
a) Chứng minh AH = HC.
b) Chứng minh ∆BAN = ∆BCM.
c) Gọi O là giao điểm của AN và CM. Chứng minh 3 điểm B, O, H thẳng hàng.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Gọi E là giao điểm của AB, CD. F là giao điểm của AC và BD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác FDC tại điểm K khác D. Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại M.
a) Chứng minh tứ giác BKCM nội tiếp.
b) Chứng minh E, M, F thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: \(2c{\rm{osA + cosB + cosC = }}\frac{9}{4}\).
Tính \(\sin \frac{A}{2}\).
Cho hàm số y = (m – 2)x + 2m + 1 (m là tham số)
a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến?
b) Tìm m để đồ thị hàm số song song đường thẳng y = 2x – 1.
c) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn luôn đi qua với mọi giá trị m.
Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Biết \(\widehat A = 90^\circ \), AB = 15 cm, AC = 20 cm.
a) Tính cạnh BC.
b) Tính độ dài của AH, BH và HC.
