Gọi F là trung điểm của AD

Xét tam giác ABC có

M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

Suy ra MN là đường trung bình

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AC\\MN = \frac{1}{2}AC\end{array} \right.\)                           (1)

Xét tam giác ADC có

P, F lần lượt là trung điểm của CD, AD

Suy ra PF là đường trung bình

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}PF//AC\\PF = \frac{1}{2}AC\end{array} \right.\)                      (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // PF và MN = PF

Do đó MNPF là hình bình hành

Suy ra MP cắt FN tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của MP

Suy ra I là trung điểm của FN

Xét tam giác NFQ có

I và J lần lượt là trung điểm của FN và NQ

Suy ra IJ là đường trung bình

Do đó IJ // QF và \[{\rm{IJ}} = \frac{1}{2}FQ\]

Xét tam giác AED có

F và Q lần lượt là trung điểm của AD và ED

Suy ra FQ là đường trung bình

Do đó AE // QF và \[FQ = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\]

Mà IJ // QF (chứng minh trên)

Suy ra IJ // AE

Ta có \[{\rm{IJ}} = \frac{1}{2}FQ = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}A{\rm{E}} = \frac{1}{4}A{\rm{E}}\]

Vậy IJ // AE và \[{\rm{IJ}} = \frac{1}{4}A{\rm{E}}\].