IMG-LOGO

Câu hỏi:

08/07/2024 59

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC.

a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE,BOCF là hình vuông.

b) Nối EC cắt DF tại I. Chứng minh rằng OI CD.

c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE = 6 .Tính độ dài các cạnh của hình vuông ABCD.

d) Lấy K là 1 điểm bất kì trên BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác AIK. Chứng minh G thuộc 1 đường thẳng cố định khi K di chuyển trên BC.

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối  (ảnh 1)

a) Gọi giao điểm của AD và EO là T

Giao điểm của BC và OF là H

Xét tứ giác EAOD có

\(\left\{ \begin{array}{l}AT = TD\\ET = TO\end{array} \right.\) EAOD là hình bình hành

Mà ADEO nên tứ giác EAOD là hình thoi.

Hình thoi EAOD có \(\widehat {AOD} = 90^\circ \)nên là hình vuông.

Vậy EAOD là hình vuông theo dấu hiệu nhận biết hình thoi có 1 góc vuông.

Chứng minh tương tự với tứ giác OBFC.

b) Xét 2 tam giác ECF và FDE có:

\(\widehat {CFE} = \widehat {DEF} = 45^\circ \)

EF chung

FC = DE

Nên: ∆ECF = ∆FDE (c.g.c)

Suy ra: \(\widehat {FEC} = \widehat {EFD}\)

Vậy tam giác EFI cân

Mà O là trung điểm của EF  OI EF

c) Ta có:

ΔAED = ΔABO = ΔBCO = ΔCOD = ΔDOA = ΔBFC

SΔAED + SΔABO + SΔBCO + SΔCOD + SΔDOA + SΔBFC = SABCDFE = 6

Suy ra: SΔABO = SΔBCO = SΔCOD = SΔDOA = 1

SABCD  = SΔABO + SΔBCO + SΔCOD + SΔDOA = 4

AB = BC = CD = AD = 2

d) Gọi M là giao điểm của IO với AB, N là giao điểm của IM cới AK, ta có:

IO FE IO AB

OM AB, mà O là trung điểm của của HT nên M là trung điểm của AB.

Xét tam giác ABK có:

MA = MB(cmt)

MN // BK (vì MO//CD)

Do đó NA = NK là trung điểm của AK IN là đường trung tuyến của ΔAIK.

Mà G là trọng tậm tam giác nên G IN G IM với IM cố định (I,M cố định).

Vậy điểm G luôn nằm trên đường thẳng cố định IM.

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Một vận động viên bơi về phía Bắc với vận tốc 1,7 m/s. Nước sông chảy với vận tốc 1 m/s về phía Đông. Tính độ lớn và hướng vận tốc tổng hợp của vận động viên?

Xem đáp án » 31/08/2023 418

Câu 2:

Một ca nô chạy trong hồ nước yên lặng có vận tốc tối đa 18 km/h. Nếu ca nô chạy ngang một con sông có dòng chảy theo hướng Bắc – Nam với vận tốc lên tới 5 m/s thì vận tốc tối đa nó có thể đạt được so với bờ sông là bao nhiêu và theo hướng nào?

Xem đáp án » 31/08/2023 239

Câu 3:

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Bx của (O). Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB có chứa Bx, lấy điểm M thuộc (O) (M khác A và B) sao cho MA > MB. Tia AM cắt Bx tại C. Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với (O) (D là tiếp điểm)

a) Chứng minh OC BD.

b) Chứng minh bốn điểm O, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

c) Chứng minh \(\widehat {CMD} = \widehat {CDA}\).

d) Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OMH đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án » 31/08/2023 152

Câu 4:

Tam giác ABC có a = 5, b = 4, c = 3. Lấy điểm D đối xứng B qua C. Độ dài đoạn AD.

Xem đáp án » 31/08/2023 136

Câu 5:

Cho tam giác ABC, đường cao kẻ từ A ký hiệu là ha. Chứng minh:

ha = 2RsinBsinC.

Xem đáp án » 31/08/2023 121

Câu 6:

Cho ∆ABC có \(\widehat A\) = 30°, AB = 4cm; S = 16 cm2. Tính AC?

Xem đáp án » 31/08/2023 117

Câu 7:

Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 45^\circ ,BC = a\).

a) Tính AB, AC.

b) Chứng minh \(\cos 75^\circ = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\).

Xem đáp án » 31/08/2023 115

Câu 8:

Các góc nhìn đến đinh núi có chiều cao là TN so với mực nước biển được đo từ hai đèn tín hiệu tại A và B trên mặt biển.

Biết \(\widehat {TAB} = 29,7^\circ ,\widehat {TBN} = 41,2^\circ \) AB = 1500m.

Hỏi chiều cao TN của ngọn núi khoảng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân).

Xem đáp án » 31/08/2023 114

Câu 9:

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f(x) = \(\sin \left( {2x + \frac{{9\pi }}{2}} \right)\).

Xem đáp án » 31/08/2023 107

Câu 10:

Cho một số tự nhiên có 3 chữ số. Biết rằng thêm chữ số 3 vào bên phải số đó thì số đó tăng thêm 2892 đơn vị. Tổng các chữ số của số đó là?

Xem đáp án » 31/08/2023 104

Câu 11:

Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F.

a) Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua AB.

b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi.

c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.

Xem đáp án » 31/08/2023 101

Câu 12:

Tìm 1 số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng khi viết thêm chữ số 7 vào bên phải số đó thì được số lớn hơn số phải tìm 11212 đơn vị.

Xem đáp án » 31/08/2023 97

Câu 13:

Cho tam giác ABC có AB = 1, \(\widehat A = 105^\circ ,\widehat B = 60^\circ \). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1. Vẽ ED song song với AB. Chứng minh: \(\frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{4}{3}\).

Xem đáp án » 31/08/2023 96

Câu 14:

Có 5 người thợ dệt trong 8 giờ được 240 sản phẩm. Hỏi muốn làm được 192 sản phẩm như thế thì 4 người phải làm trong bao lâu? (Mức lao động của mỗi người là như nhau)

Xem đáp án » 31/08/2023 96

Câu 15:

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số y = sinx + \(\sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\).

Xem đáp án » 31/08/2023 92

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »