Cho tứ diện đều ABCD có một đường cao AA1. Gọi I là trung điểm AA1. Mặt phẳng (BCI) chia tứ diện ABCD thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.
A. \(\sqrt {\frac{{43}}{{51}}} .\)
B. \(\frac{1}{2}.\)
C. \(\frac{1}{4}.\)
D. \(\sqrt {\frac{{48}}{{153}}} .\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
Gọi cạnh của tứ diện đều là a.
Gọi K là trung điểm của CD và E = IK ∩ AB.
Qua A1 kẻ đường thẳng song song với IK cắt AB tại J.
Ta có:
\(\frac{{BJ}}{{BE}} = \frac{{B{A_1}}}{{BK}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{AE}}{{EJ}} = \frac{{AI}}{{L{A_1}}} = 1\) nên suy ra \(AE = \frac{1}{4}AB = \frac{a}{4}\) và \(BE = \frac{{3a}}{4}\).
Gọi M là trung điểm của BE, trong mặt phẳng (ABK) dựng đường trung trực của BE cắt AA1 tại O. Ta dễ dàng chứng minh được O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp EBCD.
Ta có: \(B{A_1} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3},A{A_1} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Đặt BE = x.
Tam giác ABA1 đồng dạng với tam giác AOM nên suy ra
\(\frac{{AM}}{{A{A_1}}} = \frac{{OM}}{{BH}} \Rightarrow OM = \frac{{AM \cdot BH}}{{A{A_1}}} = \left( {a - \frac{x}{2}} \right)\sqrt {\frac{1}{2}} {\rm{.\;}}\)
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp EBCD ta suy ra:
\(R = OB = \sqrt {O{M^2} + M{B^2}} = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{1}{2}{{\left( {a - \frac{x}{2}} \right)}^2}} .\)
Với \(x = \frac{{3a}}{4}\) ta có:
\(R = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{{64}} + \frac{1}{2}{{\left( {a - \frac{{3a}}{8}} \right)}^2}} = a\sqrt {\frac{{43}}{{128}}} .\)
Tương tự với \(x = \frac{a}{4}\) ta có bán kính R’ của mặt cầu ngoại tiếp EACD là
\(R' = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{64}} + \frac{1}{2}{{\left( {a - \frac{a}{4}} \right)}^2}} = a\sqrt {\frac{{51}}{{128}}} \)
Do đó \(\frac{R}{{R'}} = \sqrt {\frac{{43}}{{51}}} \).
Giá trị nhỏ nhất của biết thức F = y - x trên miền xác định bởi hệ \[\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\2y - x \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right.\] là:
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d): y = (m ‒3)x + 1 (m ≠ 3) bằng \[\frac{1}{2}\]
Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính r bằng
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và \(AD = a\sqrt 2 \). Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Tính \(\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {AC} .\)
Cho tam giác \(ABC\), trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ;\overrightarrow {NA} = 3\overrightarrow {CN} ;\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = \vec 0\)
a) Tính \(\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {PN} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)
b) Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Hỏi có bao nhiêu vecto khác vecto không; cùng phương với \[\overrightarrow {OC} \] có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác?
Tính chiều cao của cây trong hình vẽ bên (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Trong hệ trục \[\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\] tọa độ của vectơ \[\overrightarrow i + \overrightarrow j \]là:
Trong một môn học, Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 câu (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2 ?
tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 3MC. Khi đó, biễu diễn \(\overrightarrow {AM} \) theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:
Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai,thứ ba bắn trúng đích lần lượt là 0,8 ; 0,6; 0,5. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích bằng:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;2), B(5; ‒2). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho \[\widehat {AMB} = 90^\circ \]
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(1; 2), M'(−2; −4) và số k = 2. Phép vị tự tỉ số k = 2 biến điểm M thành điểm M’ có tâm vị tự là:
Nước ta có diện tích 331212 km2, dân cư 90 triệu dân. Vậy mật độ dân số nước ta là:
