Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \({2020^{f\left( x \right)}} = x + \sqrt {{x^2} + 2020} ,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thỏa mãn \[f\left( {\log m} \right) < f\left( {{{\log }_m}2020} \right)\]?

Ta có: \(x + \sqrt {{x^2} + 2020}  > x + \left| x \right| \ge 0 \Rightarrow x + \sqrt {{x^2} + 2020}  > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Từ giả thiết: \[{2020^{f\left( x \right)}} = x + \sqrt {{x^2} + 2020}  \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _{2020}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2020} } \right).\]

\({2020^{f\left( x \right)}} = x + \sqrt {{x^2} + 2020}  \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _{2020}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2020} } \right){\rm{. }}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2020} }}}}{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2020} } \right)\ln 2020}} = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 2020} }}{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2020} } \right)\ln 2020\sqrt {{x^2} + 2020} }} > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra hàm số \(f(x)\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Mà với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{m \ne 1}\end{array}} \right.\) thì \(f\left( {\log m} \right) < f\left( {{{\log }_m}2020} \right) \Leftrightarrow \log m < {\log _m}2020\).

Kết hợp với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{m \ne 1}\end{array}} \right.\) và \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {2\,;\,\,3\,;\,\, \ldots \,;\,\,65} \right\}\).

Vậy có tất cả 64 giá trị nguyên \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đáp án: 64.