Giải bởi Vietjack
Ta có \({\left( {{x^2} + 3} \right)^2}f'\left( x \right) = 2x \cdot {f^2}\left( x \right)\,\,;\,\,f\left( x \right) \ne 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)
Suy ra \[\frac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}} \Rightarrow \int\limits_1^3 {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^3 {\frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}} \,{\rm{d}}x\]\( \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {\frac{{{\rm{d}}\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}} = \int\limits_1^3 {\frac{{{\rm{d}}\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}} \)
\( \Leftrightarrow - \left. {\frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right|_1^3 = - \left. {\frac{1}{{{x^2} + 3}}} \right|_1^3 \Leftrightarrow \frac{1}{{f\left( 1 \right)}} - \frac{1}{{f\left( 3 \right)}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{{12}}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} - \frac{1}{{f\left( 3 \right)}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{{12}} \Leftrightarrow f\left( 3 \right) = 12.\)
Chú ý công thức: \(\int {\frac{{{\rm{d}}u}}{{{u^2}}}} = - \frac{1}{u}.\)
Đáp án: 12.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 4x - 2.\) Gọi \(S\) là tống tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = g\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right) + m} \right|\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]\) bằng 15. Tổng \(S\) thuộc khoảng nào sau đây?
Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2 Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc với nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng 1. Diện tích \[S\] phần hình phẳng ở bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip (phần gạch tô màu trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây?
Tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} + 3\) tại điểm cực tiểu của đồ thị cắt đồ thị ở A, B khác tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng AB ?
Trong không gian \[Oxyz,\] cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có toạ độ các điểm \(A\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\)\(B\left( {a\,;\,\,0\,;\,\,0} \right)\), \(D\left( {0\,;\,\,2a\,;\,\,0} \right),\,\,A'\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,2a} \right)\) với \(a \ne 0.\) Độ dài đoạn thẳng \(AC'\) là
Cho tập hợp \(A = \left[ {4\,;\,\,7} \right]\) và \(B = \left[ {2a + 3b - 1\,;\,\,3a - b + 5} \right]\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{R}.\) Khi \(A = B\) thì giá trị biểu thức \(M = {a^2} + {b^2}\) bằng
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{{1 + 3\cos x}}\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2.\) Tính \(F\left( 0 \right).\)
