Cho tam giác ABC có \(AB = 4\,,\,\,AC = 2\,,\,\,\widehat {CAB} = 120^\circ \). Gọi \[M\] là điểm thay đổi thuộc mặt cầu tâm \[B,\] bán kính 2. Giá trị nhỏ nhất của \(MA + 2MC\) là \(a\sqrt b \). Tính \(a + b\).
Đáp án: ……….
Gọi E là giao điểm của AB với mặt cầu tâm B bán kính 2 và F là trung điểm của EB suy ra E là trung điểm của AB, \(BE = BM = 2\).
Xét \(\Delta AFC\) có:
\(F{C^2} = A{C^2} + A{F^2} - 2AC.AF.\cos \widehat {CAB} = {2^2} + {3^2} - 2.2.3.\cos 120^\circ = 19\)\( \Rightarrow FC = \sqrt {19} .\)
Xét \[\Delta BFM\] và \(\Delta BMA\) có: \(\widehat {ABM}\) chung, \(\frac{{BF}}{{BM}} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{1}{2}\).
Do đó .
Khi đó \(MA + 2MC = 2\left( {MF + MC} \right) \ge 2FC = 2\sqrt {19} \Rightarrow MA + 2MC \ge 2\sqrt {19} \).
Điểm \[F\] nằm trong mặt cầu \[\left( S \right)\] và \[C\] nằm ngoài mặt cầu \[\left( S \right)\].
Dấu xảy ra khi \[M\] là giao điểm của \[FC\] và \[\left( S \right)\].
Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(MA + 2MC\) là \(2\sqrt {19} \).
Suy ra \(a = 2,\,\,b = 19 \Rightarrow a + b = 21\).
Đáp án: 21.
Đọc đoạn trích sau và trả lời câu hỏi:
Làm chi để tiếng về sau,
Nghìn năm ai có khen đâu Hoàng Sào!
Sao bằng lộc trọng quyền cao,
Công danh ai dứt lối nào cho qua?
Nghe lời nàng nói mặn mà.
(Truyện Kiều – Nguyễn Du)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:
\(x\) |
\( - \infty \) |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
\( + \infty \) |
\(f'\left( x \right)\) |
|
\( - \) |
0 |
+ |
0 |
+ |
0 |
\( - \) |
0 |
+ |
|
Biết \(f\left( 2 \right) + f\left( 6 \right) = 2f\left( 3 \right).\) Hỏi phương trình \(f\left( {{x^2} + 1} \right) = f\left( 3 \right)\) có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Đáp án: ……….
Xác định một từ/ cụm từ SAI về mặt ngữ pháp/ hoặc ngữ nghĩa/ logic/ phong cách.
Khi ý thức cách mạng, ý thức trách nhiệm đã nhiễm sâu vào đảng viên thì việc gì cũng dễ dàng, thuận lợi.
Chọn từ/cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu dưới đây:
Người chiến sĩ ______ anh dũng ấy nay đã được đưa về với đất mẹ quê hương.