Một điểm sáng đặt tại điểm O trên trục chính của một thấu kính hội tụ (O không là quang tâm của thấu kính). Xét trục Ox vuông góc với trục chính của thấu kính với O là gốc toạ độ như hình vẽ. Tại thời điểm t = 0, điểm sáng bắt đầu dao động điều hoà dọc theo trục Ox theo phương trình \[x = A\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{2}} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\], trong đó t tính bằng s. Trong khoảng thời gian \[\frac{{13}}{{12}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} s\] kể từ thời điểm t = 0, điểm sáng đi được quãng đường là 18 cm. Cũng trong khoảng thời gian đó, ảnh của điểm sáng đi được quãng đường là 36 cm. Biết trong quá trình dao động, điểm sáng và ảnh của nó luôn có vận tốc ngược hướng nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa điểm sáng và ảnh của nó trong quá trình dao động là 37 cm. Tiêu cự của thấu kính có giá trị gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
A. 8,9 cm.
Giải bởi Vietjack
Nhận xét: ảnh luôn có vận tốc ngược hướng với điểm sáng → ảnh dao động ngược pha với điểm sáng → ảnh là ảnh thật
Từ phương trình chuyển động, ta thấy pha ban đầu của điểm sáng S là \[ - \frac{\pi }{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} rad\]
→ pha ban đầu của ảnh S’ là \[\frac{\pi }{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} rad\]
Trong khoảng thời gian \[\frac{{13}}{{12}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} s\], vecto quét được góc là: \[\Delta \varphi = \omega \Delta t = 2\pi .\frac{{13}}{{12}} = \frac{{13\pi }}{6} = 2\pi + \frac{\pi }{6}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {rad} \right)\]
Ta có vòng tròn lượng giác:
Từ vòng tròn lượng giác, ta thấy quãng đường điểm sáng S (biên độ A) và ảnh S’ (biên độ A’) đi được trong thời gian \[\frac{{13}}{{12}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} s\] là: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4A + \frac{A}{2} = 18{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right) \Rightarrow A = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)}\\{4A' + \frac{{A'}}{2} = 36{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right) \Rightarrow A' = 8{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)}\end{array}} \right.\]\[ \Rightarrow \frac{{x'}}{x} = - \frac{{A'}}{A} = - 2 \Rightarrow x' = - 2x\]
Độ phóng đại của ảnh là: \[\left| k \right| = \left| { - \frac{{d'}}{d}} \right| = \frac{{A'}}{A} \Rightarrow \frac{{d'}}{d} = \frac{{A'}}{A} = 2 \Rightarrow d' = 2d\]
Khoảng cách giữa ảnh và vật theo phương dao động là:
\[\Delta x = \left| {x - x'} \right| = \left| {3x} \right| \Rightarrow \Delta {x_{\max }} = 3A = 12{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\]
Khoảng cách lớn nhất giữa ảnh và vật là: \[{D_{\max }} = \sqrt {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + {{\left( {d + d'} \right)}^2}} \Rightarrow 37 = \sqrt {{{12}^2} + {{\left( {d + d'} \right)}^2}} \]
\[ \Rightarrow d + d' = 35{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = \frac{{35}}{3}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)}\\{d' = \frac{{70}}{3}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)}\end{array}} \right.\]
Áp dụng công thức thấu kính, ta có: \[\frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{3}{{35}} + \frac{3}{{70}} = \frac{1}{f} \Rightarrow f = \frac{{90}}{7} \approx 7,78{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\]
Tiêu cự của thấu kính gần nhất với giá trị 7,9 cm. Chọn C.
Ông Khoa muốn xây dựng một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \[288{\rm{ }}{m^3}.\] Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là \[500\,\,000\] đồng/\[{m^2}.\] Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông Khoa phải trả chi phí thấp nhất bao nhiêu triệu đồng để xây dựng bế đó (biết độ dày thành bể và đáy bể không đáng kể)?
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 25\,;\,\,25} \right]\) sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 10}}\) có đúng 2 đường tiệm cận đứng?
Biết \[x\,,\,\,y\] là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\left( {{x^2} - 2x} \right) + \sqrt {y + 1} = 0}\\{3\left( {{x^2} - 2x} \right) - 2\sqrt {y + 1} = - 7}\end{array}} \right..\) Để \(mx + 2y = 4\) thì giá trị \(m\) nào sau đây thỏa mãn?
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho tứ diện \[ABCD\] có \[A\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,1} \right),\,\]\[\,B\left( {3\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right),\]\[C\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,3} \right),\,\,D \in Oy\] và có thể tích bằng 5. Tổng tung độ của các điểm \(D\) là
Một khối gỗ hình trụ có đường kính \[0,5{\rm{ }}m\] và chiều cao \[1{\rm{ }}m.\] Người ta đã cắt khối gỗ, phần còn lại như hình vẽ bên có thể tích là \[V\] bằng
Một số có ba chữ số. Nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 17 và dư 7. Nếu đổi hai chữ số hàng chục và hàng trăm cho nhau thì được số mới mà chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 54 và dư 8. Nếu đổi hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số mới này cho nhau thì được một số mà chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 15 và dư là 14. Vậy số đã cho ban đầu là
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(a\) thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\,20} \right)\) sao cho \(\lim \sqrt {3 + \frac{{a{n^2} - 1}}{{3 + {n^2}}} - \frac{1}{{{2^n}}}} \) là một số nguyên. Tổng các phần tử của \[S\] là
Cho mặt phẳng \((P):x + y - 3z + 7 = 0\) và ba điểm \(A\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right)\,,\)\(B\left( {0\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right),\)\(C\left( {2\,;\,\,3\,;\,\, - 1} \right).\) Biết điểm \(M\left( {{x_0}\,;\,\,{y_0}\,;\,\,{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng \((P)\) sao cho \(M{A^2} + 3M{B^2} - 2M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng \(T = {x_0} + 3{y_0} - 2{z_0}\) bằng bao nhiêu?
Trong một lần đến tham quan tượng Nữ thần tự do (Ở Newyork, Mỹ), bạn Hưng muốn ước tính độ cao của tượng. Sau khi quan sát, bạn Hưng đã minh họa lại kết quả đo đạc như hình dưới đây:
Nếu chiều cao h của tượng được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất thì h bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho hình thang \[ABCD\] có hai đáy \[AB,\,\,CD;\] có tọa độ ba đỉnh \(A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right),\,\,C\left( {6\,;\,\,1\,;\,\,0} \right).\) Biết hình thang có diện tích bằng \(6\sqrt 2 .\) Giả sử đỉnh \(D\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\). Mệnh đề đúng là
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình chữ nhật, cạnh \(AB = 2AD = a.\) Tam giác \[SAB\] đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right).\) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \(SA \bot \left( {ABC} \right),\,\,AB = \sqrt 3 ,\,\,AC = 2\) và \(\widehat {BAC} = 30^\circ .\) Gọi \[M,\,\,N\] lần lượt là hình chiếu của \[A\] trên \[SB,\,\,SC.\] Bán kính \[R\] của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \[A.BCNM\] là
Đọc đoạn trích sau đây và trả lời câu hỏi:
Rồi mỗi lần đọc lại một cuốn sách hay một đoạn văn kí tên mình, hắn lại đỏ mặt lên, cau mày, nghiến răng vò nát sách và mắng mình như một thằng khốn nạn... Khốn nạn! Khốn nạn! Khốn nạn thay cho hắn! Bởi vì chính hắn là một thằng khốn nạn! Hắn chính là một kẻ bất lương! Sự cẩu thả trong bất cứ nghề gì cũng là một sự bất lương rồi. Nhưng sự cẩu thả trong văn chương thì thật là đê tiện.
(Nam Cao, Đời thừa, theo Ngữ văn 11 Nâng cao, tập một, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010)
