Cho Parabol \(\left( P \right):y = \frac{3}{4}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x + m\) với \(m\) là tham số.

1) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^2}\).

2) Tìm điều kiện của tham số \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

1) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^2}\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Bảng giá trị:

\(x\)	\( - 2\)	\( - 1\)	0	1	2
\(y = \frac{3}{4}{x^2}\)	3	\(\frac{3}{4}\)	0	\(\frac{3}{4}\)	3

Đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^2}\) là Parabol nhận \[Oy\] làm trục đối xứng, có đỉnh \(O\left( {0\,;\,\,0} \right)\), bề lõm hướng lên và đi qua các điểm \(\left( { - 1\,;\,\,\frac{3}{4}} \right),\,\,\left( {1\,;\,\,\frac{3}{4}} \right),\,\)\(\,\left( { - 2\,;\,\,3} \right),\,\,\left( {2\,;\,\,3} \right).\)

Ta có đồ thị hàm số

2) Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của phương trình:

\(\frac{3}{4}{x^2} = x + m\) hay \(\frac{3}{4}{x^2} - x - m = 0\).

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt

Hay \(\Delta  = {( - 1)^2} - 4 \cdot \frac{3}{4}( - m) = 1 + 3m > 0\) hay \(m > \frac{{ - 1}}{3}\).

Vậy với \(m > \frac{{ - 1}}{3}\) thì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.