Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 1} \right)x + 4\), với \(m\) là tham số.

1) Vẽ parabol \(\left( P \right)\).

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} = 6\).

1) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Bảng giá trị:

\(x\)	\( - 2\)	\( - 1\)	0	1	2
\(y = 2{x^2}\)	8	2	0	2	8

Đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) là parabol nhận \[Oy\] làm trục đối xứng, có đỉnh \(O\left( {0\,;\,\,0} \right)\), bề lõm hướng lên và đi qua các điểm \[\left( { - 1\,;\,\,2} \right),\,\,\left( {1\,;\,\,2} \right),\,\]\(\left( { - 2\,;\,\,8} \right),\,\,\left( {2\,;\,\,8} \right).\)

2) Ta có: \({\rm{\Delta }} = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( { - 4} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 32 > 0\) với mọi \(m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{m + 1}}{2}}\\{{x_1} \cdot {x_2} =  - 2}\end{array}} \right.\).

Thay vào biểu thức \({x_1} + {x_2} - {x_1} \cdot {x_2} = 6\) ta được: \(\frac{{m + 1}}{2} - \left( { - 2} \right) = 6\) hay \(\frac{{m + 1}}{2} = 4.\)

Do đó \(m + 1 = 8\) nên \(m = 7.\)

Vậy với \(m = 7\) thì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} - {x_1} \cdot {x_2} = 6\).