Cho \({\rm{a}} > {\rm{b}} > 0.\) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho elip \(\frac{{{{\rm{x}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}} + \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{\;{{\rm{b}}^2}}} = 1\) quay xung quanh trục Ox là
Giải bởi Vietjack
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = {b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right) \Leftrightarrow y = \pm b\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} ,x \in [ - a;a].\)
Nhận xét: Elip nhận \({\rm{Ox}},{\rm{Oy}}\) là hai trục đối xứng.
Ta cần tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
\(y = b\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} ,x = - a,x = a\)quay quanh trục Ox.
\(V = \pi \int_{ - a}^a {{{\left( {b\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} } \right)}^2}} dx = \pi \int_{ - a}^a {{b^2}} \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)dx = \left. {\pi {b^2}\left( {x - \frac{{{x^3}}}{{3{a^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^a = \frac{{4\pi }}{3}a{b^2}\)
Chọn B.
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D trong hình vẽ xung quanh trục Ox được tính bởi công thức
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \({\rm{y}} = \sqrt {\rm{x}} ,{\rm{y}} = 2 - {\rm{x}}\) và trục hoành quay xung quanh Ox được tính bởi công thức
