Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\) và \(\widehat {ABC} = \widehat {A'AB} = \widehat {A'AD} = 60^\circ \). Khi đó:
a) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = a\).
b) \(\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AB} = {a^2}\).
c) \(\left| {\overrightarrow {D'A'} + \overrightarrow {D'C'} } \right| = a\sqrt 3 \).
d) \(\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AC} = {a^2}\).
Giải bởi Vietjack
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.
Hướng dẫn giải
– Theo bài ra, ta có \(AB = BC = a\) nên \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = a\). Do đó, ý a) đúng.
– Ta có: \(\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\,\overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \widehat {A'AB} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Do đó, ý b) sai.
– Ta có \(\widehat {DAB} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 120^\circ \).
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABD\), ta có:
\(DB = \sqrt {A{D^2} + A{B^2} - 2AD \cdot AB \cdot \cos \widehat {DAB}} = a\sqrt 3 \).
Theo quy tắc hình bình hành, ta có \(\overrightarrow {D'A'} + \overrightarrow {D'C'} = \overrightarrow {D'B'} = \overrightarrow {DB} \).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {D'A'} + \overrightarrow {D'C'} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = a\sqrt 3 \). Vậy ý c) đúng.
– Ta có: \(\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AD} = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right)\)
\( = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \cos \widehat {A'AD} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Khi đó, \(\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AA'} \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} = {a^2}\).
Vậy ý d) đúng.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
Tổng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) bằng vectơ nào sau đây?
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình dưới đây.
Phát biểu nào sau đây là đúng?
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Câu 1. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;\,3} \right]\) và có đồ thị như hình dưới đây.
Phát biểu nào sau đây là đúng?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{x + 1}}\).
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;1} \right)\).
b) Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là \( - 2\).
c) Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x + 3\).
d) Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua 6 điểm có tọa độ nguyên.
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) (tham khảo hình vẽ). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {BC} \).
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {AC'} \).
c) \(\left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {AA'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CC'} } \right)\).
d) \(\overrightarrow {B'C} \cdot \overrightarrow {BA} = \left| {\overrightarrow {B'C} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \cos \widehat {A'CB'}\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 2024}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
