Tìm tất cả các mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chứa đường thẳng \[d:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 3}}\] và tạo với mặt phẳng \[\left( P \right):2x - z + 1 = 0\] góc \[45^\circ .\]
A. \[\left( \alpha \right):3x + z = 0.\]
B. \[\left( \alpha \right):x - y - 3z = 0.\]
C. \[\left( \alpha \right):x + 3z = 0.\]
D. \[\left( \alpha \right):3x + z = 0\] hoặc \[\left( \alpha \right):8x + 5y + z = 0.\]
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Giả sử mặt phẳng \[\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\] với \[{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\].
Đường thẳng \[d\] đi qua \[O\left( {0;0;0} \right)\] có vectơ chỉ phương \[{\overrightarrow u _d} = \left( {1; - 1; - 3} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chứa đường thẳng \[d\] nên \[{\overrightarrow u _d}.{\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = 0\].
Suy ra \[A - B - 3C = 0\].
Mà mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] tạo với \[\left( P \right)\] góc \[45^\circ \] nên
\[\cos \left( {\left( \alpha \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2A - C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
\[ \Leftrightarrow 2\left| {2A - C} \right| = \sqrt {10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)} \]
\[ \Leftrightarrow 4{\left( {2A - C} \right)^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 16{A^2} - 16AC + 4{C^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)\] (1)
Thay \[A = B + 3C\] vào (1), được
\[ \Leftrightarrow 3{A^2} - 8AC - 3{C^2} = 5{B^2}\]
\[ \Leftrightarrow 3{\left( {B + 3C} \right)^2} - 8\left( {B + 3C} \right)C - 3{C^2} - 5{B^2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow - 2{B^2} + 10BC = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 5C\\B = 0\end{array} \right.\].
Với \[B = 0 \Rightarrow A = 3C \Rightarrow \left( \alpha \right):x + 3z = 0.\]
Với \[B = 5C\], chọn \[C = 1 \Rightarrow C = 5,A = 8\] nên \[\left( \alpha \right):8x + 5y + z = 0.\]
III. Vận dụng
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):3x + 4y + 5z + 2 = 0\] và đường thẳng \[d\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right):x - 2y + 1 = 0\] và \[\left( \beta \right):x - 2y - 3z = 0\]. Hãy tính số đo góc \[\alpha \] giữa \[d\] và \[\left( P \right)\].
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):x - y - 6 = 0\] và \[\left( Q \right)\]. Biết rằng điểm \[H\left( {2; - 1; - 2} \right)\] là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ \[O\left( {0;0;0} \right)\] xuống mặt phẳng \[\left( Q \right)\]. Số đo góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và mặt phẳng \[\left( Q \right)\] bằng
II. Thông hiểu
Cho hai đường thẳng \[{\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1},{\rm{ }}{\Delta _2}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\]. Góc giữa \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] là
Hãy tìm giá trị thực của \[m\] để góc giữa hai đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - \sqrt 2 t\\z = 1 + t\end{array} \right.,{\rm{ }}t \in \mathbb{R}\] và \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = - \sqrt 2 t'\\z = 1 + mt'\end{array} \right.,{\rm{ }}t' \in \mathbb{R}\] bằng \[60^\circ .\]
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - y + 2z + 1 = 0\]và đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\]. Xét các mệnh đề sau:
I. Nhận biết
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], góc giữa đường thẳng \[Ox\] và đường thẳng \[Oy\] là
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], góc giữa đường thẳng \[Ox\] và mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] là
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] có vectơ chỉ phương lần lượt là \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\], \[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa hai đường thẳng \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}.\] Xét các khẳng định sau:
a) \[\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}.\]
b) \[\cos \varphi = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}.\]
c) \[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0.\]
d) \[\sin \varphi = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}.\]
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y - z - 3 = 0\] và \[\left( Q \right):x - z - 2 = 0\]. Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] bằng
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \[M\left( {1;0;0} \right)\], \[N\left( {0;1;0} \right)\] và \[P\left( {0;0;1} \right)\]. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\] và \[\left( {Oxy} \right)\] bằng
Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\] và \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + mt.\\z = 2 - t\end{array} \right.\] Tìm \[m\] để cosin góc giữa hai đường thẳng bằng \[\frac{{\sqrt 5 }}{5}.\]
Trong không gian \[Oxyz\] cho hình chóp \[S.ABCD\] có \[S\left( {0;0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\]\[A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right),\]\[B\left( { - \frac{a}{2};0;0} \right)\], \[C\left( { - \frac{a}{2};a;0} \right)\],\[D\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)\] với \[a > 0\]. Tính góc giữa đường thẳng \[SD\] và mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\]. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {0;2;2} \right)\]. Góc giữa đường thẳng \[OA\] và trục \[Oy\] bằng
Trong không gian \[Oxyz\], hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{z - 3}}{1}\] và \[{d_2}:\frac{{x + 5}}{1} = \frac{{y + 3}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{z - 5}}{m}\] tạo với nhau góc \[60^\circ \], giá trị của tham số \[m\] bằng
Tính góc \[\alpha \] giữa hai đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + t\\z = 3\end{array} \right.\] và \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t'\\y = 2\\z = - 2 + t'.\end{array} \right.\]
