Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2),B(2;−2;0), C(−2;0;1). Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là
A. 4x−2y−z+4=0.
B. 4x+2y−z−4=0.
C. 4x+2y+z+4=0.
D. 4x−2y−z−4=0.
Đáp án đúng là: A
Ta có: →AB=(2;−3;−2), →AC=(−2;−1;−1) nên
[→AB,→AC]=(|−3−2−1−1|;|−22−1−2|;|2−3−2−1|)=(1;6;−8).
Phương trình mặt phẳng (ABC) là x+6y−8z+10=0.
Phương trình mặt phẳng B và vuông góc với AC là: 2x+y+z−2=0.
Phương trình mặt phẳng C và vuông góc với AB là: 2x−3y−2z+6=0.
Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên ta có tọa độ điểm H là (−22101;−31101;−26101)=−1101(22;31;26).
Suy ra →AH=(−22101;−31101;−26101)
Mặt phẳng (P) đi qua A, H nên →nP⊥→AH.
Mặt phẳng (P)⊥(ABC) nên →nP⊥→n(ABC)=(1;6;−8).
Vậy →nP=[→n(ABC),→AH]=(404;−202;−101)=101(4;−2;1).
Do đó, →nP=(4;−2;1) cũng là một vectơ pháp tuyến của (P).
Phương trình mặt phẳng (P) là 4x−2y−z+4=0.
I. Nhận biết
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD)?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P):ax+by+cz−27=0 đi qua hai điểm A(3;2;1) và B(−3;5;2) và vuông góc với (Q):3x+y+z+4=0. Tính tổng S=a+b+c.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x+my+3z−5=0 và (Q):nx−8y−6z+2=0 với m,n∈R. Xác định m,n để (P) song song với (Q).
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):x+y+z−3=0 đi qua điểm nào dưới đây?
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α):2x+y+z+1=0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
II. Thông hiểu
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;1;3) và có vectơ pháp tuyến →n=(2;3;−1) là
Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), biết →a=(−1;−2;−2), →b=(−1;0;−1)là cặp vectơ chỉ phương của (P)?
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x−y+2z−4=0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M(3;1;−2) lên mặt phẳng (P). Độ dài đoạn thẳng MH là
Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P):x+2y+3z−1=0 và (Q):x+2y+3z+6=0 là
Cho hai mặt phẳng (P):2x−y+2z−5=0; (Q):4x−2y+4z+1−m=0 và điểm M(2;1;5). Khi đó:
a) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng 83.
b) Với m=0 thì khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) bằng 92.
c) Với m=3 thì khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng 3.
d) Có hai giá trị của m để khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) bằng 1. Khi đó tổng của tất cả các giá trị m bằng 5.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
Trong không gian Oxyz, cho A(0;1;1), B(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1;7);B(5;5;1) và mặt phẳng (P):2x−y−z+4=0. Điểm M thuộc (P) sao cho MA=MB=√35. Biết M có hoành độ nguyên, tính OM.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;−2;−2), B(3;2;0), C(0;2;1). Phương trình mặt phẳng (ABC) là
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục Ox,Oy,Oz. Phương trình mặt phẳng (ABC) là
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−1;2;0) và mặt phẳng (P): 2x−2y+z+1=0. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là