Trên bảng viết các số \(\frac{1}{{2015}},\frac{2}{{2015}}, \ldots ,\frac{{2014}}{{2015}},\frac{{2015}}{{2016}}\). Mỗi lần biến đổi, xóa đi hai số \({\rm{a}},{\rm{b}}\) bất kì và thay bằng số \(a + b - 5ab\). Sau 2014 lần thực hiện phép biến đổi trên bảng còn lại một phân số \(\frac{m}{n}\). (tối giản)
Tổng m + n = ?
Giải bởi Vietjack
Đáp án: “6”
Phương pháp giải
Áp dụng nguyên lý bất biến trong giải toán:
Cho a, b, c là những số thực ta xét tổng S = a + b + c . Nếu ta đổi chỗ a cho b, b cho c, c cho a, thì tổng S luôn luôn chỉ là một (không đổi). Tổng này không thay đổi đối với thứ tự phép cộng. Dù a, b, c có thay đổi thứ tự như thế nào chăng nữa S vẫn không thay đổi, nghĩa là S bất biến đối với việc thay đổi các biến khác.
Thông thường ta sẽ dựa vào kinh nghiệm dự đoán số bất biến trong dãy.
Lời giải
Nhận xét: c = a + b − 5ab là một tổng mà vai trò của a và b như nhau. Cứ xóa 2 số a, b bất kì và xóa 2014 theo bất kì cách nào thì luôn ra một số duy nhất, nên ta có thể dự đoán: khi xóa đến một số nào đó thì số c là không đổi. Giả sử xóa đến số a0 thì được số co = ao + b1 − 5a0b1
Xóa tiếp số co và b2 thì vẫn được co, tức là: co = co + b2 − 5cob2 ⇔ co = \(\frac{1}{5}\)
Thử lại ta thấy:
Trong dãy số trên có số \(\frac{{403}}{{2015}} = \frac{1}{5}\)
Nếu xóa hai số a và b bất kì và thay bằng số mới là c = a + b − 5ab, như vậy sau mỗi lần xóa dãy trên giảm đi một số. Như vậy sau 2014 lần xóa trên bảng còn lại đúng 1 số.
Ta cứ xóa đến một lúc nào đó ta sẽ xóa \(\frac{{403}}{{2015}}\) và được thay bằng \(c = \frac{1}{5} + b - 5.\frac{1}{5}b = \frac{1}{5}\)
Như vậy cứ xóa số \(\frac{1}{5}\) và một số b bất kì thì lại viết được c = \(\frac{1}{5}\)
Vậy số cuối cùng còn lại là \(\frac{1}{5}\)
Ở điều kiện đang xét thể tích mol của chất khí là 24 lít. Giá trị m (khối lượng muối carbonate được lấy ban đầu là
Khi phản ứng phân hủy xảy ra hoàn toàn khối lượng của CO2 thoát ra ở thí nghiệm 1 là
Nhìn vào kết quả của các thí nghiệm 1, 2 và 3, bạn cho biết điều gì sẽ xảy ra với thể tích khí trong một xi lanh nếu cả áp suất và nhiệt độ của khí đều tăng gấp đôi và tất cả các yếu tố khác được giữ không đổi?
Nhận định dưới đây đúng hay sai?
Vi khuẩn gram âm có thành tế bào gồm một lớp mỏng peptidoglycan và màng ngoài có lipopolysaccharide (thành phần này không có ở vi khuẩn gram dương).
Trong một chiếc la bàn, một chiếc kim quay để căn chỉnh hướng Bắc-Nam, theo từ trường của Trái đất. Giả sử đặt một chiếc la bàn gần dây dẫn có dòng điện chạy qua, người ta quan sát thấy kim la bàn không còn thẳng hàng với hướng Bắc-Nam. Từ đó kết quả nghiên cứu của nhà khoa học 2 và 3 có ảnh hưởng. Các nhận xét sau đây về sự ảnh hưởng về kết quả nghiên cứu là đúng hay sai?
|
|
ĐÚNG |
SAI |
|
Nó sẽ củng cố lập luận của Nhà khoa học 2 và nó sẽ làm suy yếu lập luận của Nhà khoa học 3. |
||
|
Nó sẽ làm suy yếu lập luận của Nhà khoa học 2 và nó sẽ củng cố lập luận của Nhà khoa học 3. |
||
|
Nó sẽ củng cố lập lập của cả 2 Nhà khoa học |
||
|
Nó sẽ không ảnh hưởng gì đến lập luận của Nhà khoa học 2 và nó sẽ củng cố lập luận của Nhà khoa học 3. |
Thí nghiệm nào sau đây sẽ giúp nhà khoa học nghiên cứu tốt nhất mối quan hệ giữa thể tích khí (tính bằng ml) và lượng khí (tính bằng mol)?
Phát biểu sau đây đúng hay sai?
Thể tích khí CO2 thu được khi kết thúc phản ứng ở thí nghiệm 2 là 54 mL.
Phần tư duy khoa học/ giải quyết vấn đề
Dựa vào kết quả thí nghiệm 3, nếu tăng áp suất của một lượng khí lên gấp đôi, giữ nguyên thể tích và thể tích của khí trong xi lanh thì nhiệt độ sẽ như thế nào?
Dựa vào kết quả của thí nghiệm 2, nếu một nhà khoa học thổi không khí vào một quả bóng bay cho đến khi đường kính của quả bóng bay đạt 20 cm rồi tiếp tục hơ quả bóng bay trên ngọn lửa đèn Bunsen thì các nhận xét sau đây đúng hay sai với quả bóng bay khi nó được nung nóng?
|
|
ĐÚNG |
SAI |
|
Nhiệt độ của quả bóng sẽ giữ nguyên. |
||
|
Thể tích của quả bóng sẽ giảm. |
||
|
Thể tích của quả bóng sẽ tăng lên. |
||
|
Nhiệt độ của quả bóng sẽ giảm. |
Nhận định dưới đây đúng hay sai?
Trứng ốc khi được đẻ ra ngoài là trứng chưa được thụ tinh, sau một thời gian trứng mới được con đực thụ tinh trong môi trường nước.
Giả sử có một khám phá mới phát hiện ra rằng các phản ứng acid - base không thực sự đảo ngược. Khám phá này sẽ bác bỏ hoàn toàn khái niệm nào?
Theo bài đọc, một trong những lợi ích của kỹ thuật phân tích máu muỗi là gì?
Từ nội dung của câu chuyện, hoàn thành câu hỏi bằng cách chọn đáp án Đúng hoặc Sai.
|
|
ĐÚNG |
SAI |
|
Mực 3 lần thoát được cái chết đã được mọi người định sẵn. |
||
|
Du luôn tỏ ra thân thiết với Mực sau một thời gian dài gặp lại người bạn cũ. |
||
|
Mực cảm thấy tủi thân và sợ hãi khi bị mọi người ghét bỏ và đối xử tàn nhẫn. |
