Cho hình nón \((N)\) có đường cao \(SO = 9\) và bán kính đáy bằng \(R\), gọi \(M\) là điểm trên đoạn SO sao cho \(OM = x\,\,(0 < x < 9)\). Mặt phẳng \((P)\) vuông góc với trục SO tại \(M\) giao với hình nón \((N)\) theo thiết diện là đường tròn \((C)\). Giá trị của \(x\) bằng (1) _________ để khối nón có đỉnh là điểm \(O\) và đáy là hình tròn \((C)\) có thể tích lớn nhất? 

Đáp án

Cho hình nón \((N)\) có đường cao \(SO = 9\) và bán kính đáy bằng \(R\), gọi \(M\) là điểm trên đoạn SO sao cho \(OM = x\,\,(0 < x < 9)\). Mặt phẳng \((P)\) vuông góc với trục SO tại \(M\) giao với hình nón \((N)\) theo thiết diện là đường tròn \((C)\). Giá trị của \(x\) bằng (1) __ 3 __  để khối nón có đỉnh là điểm \(O\) và đáy là hình tròn \((C)\) có thể tích lớn nhất?  

Giải thích

Gọi BC là đường kính của \((C)\) và AD là đường kính của đường tròn đáy của \((N)\) sao cho \(BC//AD\), S, A, B thẳng hà̀ng \( \Rightarrow S,C,D\) thẳng hàng.

Ta có \(r = BM\) là bán kính đường tròn \((C)\).

Vì  nên \(\frac{{BM}}{{AO}} = \frac{{SM}}{{SO}} \Leftrightarrow r = \frac{{AO.SM}}{{SO}} \Leftrightarrow r = \frac{{R(9 - x)}}{9}\).

Thể tích của khối nón có đỉnh là \(O\), đáy là \((C)\) là

\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}.OM = \frac{1}{3}\pi {\left[ {\frac{{R(9 - x)}}{9}} \right]^2}x = \frac{1}{{243}}\pi {R^2}{(9 - x)^2}x{\rm{. }}\)

Xét hàm số \(f(x) = \frac{1}{{243}}\pi {R^2}{(9 - x)^2}x,(0 < x < 9)\) ta có:

Ta có \({f^\prime }(x) = \frac{1}{{243}}\pi {R^2}(9 - x)(9 - 3x)\);

\({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{243}}\pi {R^2}(9 - x)(9 - 3x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 9\,\,(L)}\\{x = 3\,\,(tm)}\end{array}} \right.\)

Lập bảng biến thiên ta có:

Từ bảng biến thiên ta có thể tích khối nón có đỉnh là O, đáy là (C) lớn nhất khi x = 3.