Cho đường tròn \[\left( O \right)\] và \[\left( {O'} \right)\] tiếp xúc ngoài tại \[A.\] Kẻ đường kính \[AB\] của đường tròn \[\left( O \right)\] và đường kính \[AC\] của đường tròn \[\left( {O'} \right).\] Gọi \[DE\] là tiếp tuyến của cả hai đường tròn \[\left( O \right)\] và \[\left( {O'} \right)\] với hai tiếp điểm \[D \in \left( O \right)\] và \[E \in \left( {O'} \right)\] \((DE\) không cắt đoạn \(O'O).\) Gọi \[M\] là giao điểm của \[BD\] và \[CE.\] Biết rằng \[\widehat {DOA} = 60^\circ \] và \[OA = 6{\rm{\;cm}}.\] Diện tích tứ giác \[ADME\] bằng
A. \[12{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}.\]
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
Vì \[OA = OD\] nên tam giác \[OAD\] cân tại \[O.\] Do đó \[\widehat {{A_2}} = \widehat {ODA}.\]
Chứng minh tương tự, ta được \[\widehat {{A_1}} = \widehat {O'EA}.\]
Ta có \[DE\] là tiếp tuyến của cả hai đường tròn \[\left( O \right)\] và \[\left( {O'} \right)\] với hai tiếp điểm \[D \in \left( O \right)\] và \[E \in \left( {O'} \right)\] nên \[O'E \bot DE\] và \[OD \bot DE.\]
Xét tứ giác \(O'EDO\) ta có: \[\widehat {{{O'}_1}} + \widehat {{O_1}} = 360^\circ - \widehat {O'ED} - \widehat {ODE} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ \]
Suy ra \[\left( {180^\circ - \widehat {{A_1}} - \widehat {O'EA}} \right) + \left( {180^\circ - \widehat {{A_2}} - \widehat {ODA}} \right) = 180^\circ \]
Khi đó \[2 \cdot \widehat {{A_1}} + 2 \cdot \widehat {{A_2}} = 180^\circ \]
Vì vậy \[2 \cdot \left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = 180^\circ \]
Suy ra \[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 90^\circ \]
Ta có \[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {EAD} = 180^\circ \]
Suy ra \[\widehat {EAD} = 180^\circ - \left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\]
Tam giác \[CEA\] có \[EO'\] là đường trung tuyến và \[EO' = \frac{{AC}}{2}\] nên tam giác \[CEA\] vuông tại \[E.\]
Chứng minh tương tự, ta được tam giác \[ABD\] vuông tại \[D.\]
Tứ giác \[ADME\] có: \[\widehat {DAE} = \widehat {AEM} = \widehat {ADM} = 90^\circ \] nên tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật.
Tam giác \[OAD\] cân tại \[O\] có \[\widehat {DOA} = 60^\circ \] nên tam giác \[OAD\] là tam giác đều.
Khi đó \[AD = OD = OA = 6{\rm{\;cm}}\] và \[\widehat {ADO} = 60^\circ .\]
Vì \[\widehat {ODE} = 90^\circ \] nên \[\widehat {ODA} + \widehat {ADE} = 90^\circ \]
Suy ra \[\widehat {ADE} = 90^\circ - \widehat {ODA} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .\]
Vì tam giác \[DAE\] vuông tại \[A\] nên \[AE = AD \cdot \tan \widehat {ADE} = 6 \cdot \tan 30^\circ = 2\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Do đó diện tích tứ giác \[ADME\] là: \[S = AE \cdot AD = 2\sqrt 3 \cdot 6 = 12\sqrt 3 {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]
Vậy ta chọn phương án C.
Cho đường tròn \(\left( {I;R} \right)\) có đường kính \[12{\rm{\;dm}}\] và đường tròn \(\left( {J;R'} \right)\) có đường kính \[18{\rm{\;dm}}.\] Nếu \(IJ = 15{\rm{\;dm}}\) thì hai đường tròn \[\left( I \right),\,\,\left( J \right)\] có vị trí tương đối là
Cho đường tròn \[\left( {{O_1}} \right)\] và \[\left( {{O_2}} \right)\] tiếp xúc ngoài tại \[A\] và một đường thẳng \[\left( d \right)\] tiếp xúc với \[\left( {{O_1}} \right),\,\,\left( {{O_2}} \right)\] lần lượt tại \[B,C.\] Tam giác \[ABC\] là
Cho hai đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và đường tròn \[\left( {O';r} \right)\] tiếp xúc ngoài với nhau tại \[A.\] Một đường thẳng qua \[A\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[B\] và cắt \[\left( {O'} \right)\] tại \[C.\] Cho các nhận định sau:
(i) \[OB\,{\rm{//}}\,O'C.\]
(ii) \(OO' = R - r\) với \[R > r.\]
Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
Nếu hai đường tròn không cắt nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là
III. Vận dụng
Cho hai đường tròn \[\left( {O;5{\rm{\;cm}}} \right)\] và \(\left( {I;R} \right)\) với \(R < 5{\rm{\;cm}}.\) Biết \(OI = 3{\rm{\;cm}},\) giá trị của \(R\) để hai đường tròn tiếp xúc trong là
III. Vận dụng
Cho đường tròn \[\left( {A;10{\rm{\;cm}}} \right),\,\,\left( {B;15{\rm{\;cm}}} \right),\,\,\left( {C;15{\rm{\;cm}}} \right)\] tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Hai đường tròn \[\left( B \right)\] và \[\left( C \right)\] tiếp xúc nhau tại \[A'.\] Đường tròn \[\left( A \right)\] tiếp xúc với đường tròn \[\left( B \right)\] và \[\left( C \right)\] lần lượt tại \[C',B'.\] Cho các nhận định sau:
(i) \[AA'\] là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \[\left( B \right)\] và \[\left( C \right).\]
(ii) \[AA' = 15{\rm{\;cm}}.\]
Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
Cho hai đường tròn \[\left( {O;4{\rm{\;cm}}} \right)\] và \[\left( {O';3{\rm{\;cm}}} \right)\] biết \[OO' = 5{\rm{\;cm}}.\] Hai đường tròn trên cắt nhau tại \[A\] và \[B.\] Độ dài \[AB\] là
I. Nhận biết
Nếu hai đường tròn phân biệt tiếp xúc nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là
Cho hai đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và \[\left( {O';r} \right)\] với \[R > r\] cắt nhau tại hai điểm phân biệt và \[OO' = d.\] Chọn khẳng định đúng?
Cho hai đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và \[\left( {O';r} \right)\] sao cho \[OO' < R - r\], với \[R > r.\] Khi đó ta nói </>
Cho hai đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và \[\left( {O';r} \right)\] với \[R > r.\] Ta nói hai đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và \[\left( {O';r} \right)\] ở ngoài nhau khi
Cho hai đường tròn \[\left( {O;5{\rm{\;cm}}} \right)\] và \(\left( {I;R} \right)\). Biết \(OI = 7{\rm{\;cm}},\) giá trị của \(R\) để hai đường tròn ở ngoài nhau là
Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right),\) đường kính \[AB.\] Vẽ nửa đường tròn tâm \[O',\] đường kính \[AO\] (cùng phía với nửa đường tròn \[\left( O \right)\]). Một đường thẳng bất kì qua \[A\] cắt \(\left( O \right),\,\,\left( {O'} \right)\) lần lượt tại \[C,D.\] Nếu \[BC\] là tiếp tuyến của nửa đường tròn \[\left( {O'} \right)\] thì
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] vẽ đường tròn \[\left( {B;BA} \right)\] và đường tròn \[\left( {C;CA} \right)\] chúng cắt nhau tại \[D\] \((D\) khác \[A\]). Kết luận nào sau đây đúng nhất?
