Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là $18\pi$. Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước. Tính thể tích nước còn lại trong bình.  

Xét các số phức z, w thỏa mãn $\left|z+2w\right|=1$  và $\left|3z-w\right|=2$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=7\left|z+w\right|+\left|z+9w\right|$ . Tính giá trị của $M^2-m^2$ .

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

${\log }_3\left(5-\left|x\right|+2\left|y\right|\right)+2{\log }_2\left(5-\left|x\right|\right)+3\ge {\log }_3\left|y\right|+{\log }_2{\left(5-\left|x\right|+3\left|y\right|\right)}^2$?

Cho hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=\left|2f\left(\ln x\right)-{\ln }^{2}x+1-m\right|$  nghịch biến trên $\left(1;e\right)$ , biết $f\left(1\right)=2$ ?

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-1}$ . Hai điểm M, N thay đổi, lần lượt nằm trên các mặt phẳng $\left(P\right):x-2=0$ , $\left(Q\right):z-2=0$  sao cho trung điểm K của đoạn thẳng MN luôn thuộc đường thẳng $\Delta$ . Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g\left(x\right)=f^2\left(x\right)-mf\left(x\right)$  có đúng 5 điểm cực trị?

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a và BC = 4a. Gọi M là trung điểm của B’C’, biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (B’AC) bằng $\frac{6a}{13}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn ${\log }_2\left(8x^2\right)+{\log }_3\left(3x^3\right)\ge {\log }_{2}x.{\log }_{3}x$ ?

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ . Gọi $xF\left(x\right),G\left(x\right)$  là hai nguyên hàm của f(x) trên $ℝ$  thỏa mãn $3F\left(1\right)+G\left(0\right)=6$  và $F\left(1\right)-G\left(1\right)=6$ .

Tính $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin 2x.f\left({\cos }^{2}x\right)\text{d}x$ .

Cho khối nón (N) có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng $120°$ . Một mặt phẳng (P) đi qua S, cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO bằng 4. Tính thể tích V của khối nón (N).