Đặt $a={\log }_{2}3;b={\log }_{3}5.$

Biểu diễn ${\log }_{20}12$ theo a, b.

Cho tứ diện ABCD gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD.

Biết $AB=CD=a,MN=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 

Giải bóng chuyền VTV cup gồm 9 đội bóng trong đó có 6 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C và mỗi bảng có ba đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau.

Tìm m để hàm số $y=\frac{2\cos x+1}{\cos x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\pi \right)$

Tính giới hạn $\lim \frac{n^2-n+3}{2n^2+n+1}$

Cho khai triển:

$P\left(x\right)=\left(1+x\right)\left(1+2x\right)..\left(1+2017x\right)=a_0+a_{1}x+..+a_{2017}{x}^{2017}$.

Tính giá trị biểu thức $T=a_2+\frac{1}{2}\left(1^2+2^2+\mathrm{...}+{2017}^2\right).$

Cho tứ diện đều cạnh a, điểm I nằm trong tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ I đến tất cả các mặt của tứ diện.

Cho hình chóp S.ABCD có SD=x, tất cả các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng a. Biết góc giữa SD và măt phẳng (ABCD) bằng $30°$. Tìm a.

Cho ba số thực dương x,y,z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực dương $a\left(a\ne 1\right)$ thì ${\log }_{a}x,{\log }_{\sqrt{a}}y,{\log }_{\sqrt[3]{a}}z$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Tính giá trị biểu thức $P=\frac{1959x}{y}+\frac{2019y}{z}+\frac{60z}{x}.$

Cho tứ diện ABCD và ba điểm M, N,P lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC, AD mà không trùng với các đỉnh của tứ diện. Thiết diện của hình tứ diện  ABCD  khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) là: 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $\cos 2x-4\cos x-m=0$ có nghiệm.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD,AB//CD, AB=2AD. M là một điểm thuộc cạnh AD, $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Biết diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ bằng $\frac{2}{3}$ diện tích tam giác SAB. Tính tỉ số $k=\frac{MA}{MD}.$

Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

Cho biểu thức $P=\sqrt[5]{x^3\sqrt[3]{x^2\sqrt{x}}}$ với $x>0.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC và có thể tích $V_1$. Gọi $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm tam giác $B_1{C}_1{D}_1,C_1{D}_1{A}_1,D_1{A}_1{B}_1,A_1{B}_1{C}_1$ và có thể tích $V_2$ … cứ như vậy cho tứ diện $A_n{B}_n{C}_n{D}_n$ có thể tích $V_n$ với n là số tự nhiên lớn hơn 1. Tính giá trị của biểu thức $P=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(V+V_1+\mathrm{...}+V_n\right).$