Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): y = kx + $\frac{1}{2}$ và parabol (P): $\mathrm{y}=\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2$. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB luôn thỏa mãn phương trình nào dưới đây?

Cho Parabol (P): y = ${\mathrm{x}}^2$ và đường thẳng (d): y = mx + 4. Biết đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi${\mathrm{x}}_1; {\mathrm{x}}_2$ là hoành độ của các điểm A, B. Tìm giá trị lớn nhất của $\mathrm{Q}=\frac{2\left({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2\right)+7}{{{\mathrm{x}}_1}^2+{{\mathrm{x}}_2}^2}$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = ${\mathrm{x}}^2$ và đường thẳng (d): $\mathrm{y}=-\frac{2}{3}\left(\mathrm{m}+1\right)\mathrm{x}+\frac{1}{3}$ (m là tham số). Trong trường hợp (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ giao điểm là ${\mathrm{x}}_1; {\mathrm{x}}_2$. Đặt f (x) = ${\mathrm{x}}^3$ + (m + 1)${\mathrm{x}}^2$ – x khi đó?

Gọi ${\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}, {\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}$ là hoành độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\mathrm{T}=\frac{4}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}}+\frac{1}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}.{\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}}$

Gọi ${\mathrm{x}}_1; {\mathrm{x}}_2$ là hai nghiệm của phương trình 2${\mathrm{x}}^2$ – (3a – 1)x – 2 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = $\frac{3}{2}$${({\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2)}^2$ + 2 

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=4\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=2\end{array}\right.$ có nghiệm là (x; y) với x > y. Khi đó xy bằng:

Cho parabol (P): $\mathrm{y}=\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^2$ và đường thẳng d: $\mathrm{y}=\frac{11}{8}\mathrm{x}-\frac{3}{2}$. Gọi A, B là các giao điểm của (P) và d. Tìm tọa độ điểm C trên trục tung cho CA + CB có giá trị nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y = $\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^2$ và đường thẳng (d): x – 2y + 12 = 0. Gọi giao điểm của (d) và (P) là A, B. Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC vuông tại C.

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{xy}=5\\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=5\end{array}\right.$ có bao nhiêu nghiệm?

Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2=5\mathrm{x}-2\mathrm{y}\\ {\mathrm{y}}^2=5\mathrm{y}-2\mathrm{x}\end{array}\right.$

Trên parabol (P): y = ${\mathrm{x}}^2$ ta lấy ba điểm phân biệt A (a; ${\mathrm{a}}^2$); B (b; ${\mathrm{b}}^2$); C (c; ${\mathrm{c}}^2$) thỏa mãn ${\mathrm{a}}^2$ – b = ${\mathrm{b}}^2$ – c = ${\mathrm{c}}^2$ – a. Hãy tính tích T = (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1)

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}+2\mathrm{xy}=-8\\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=10\end{array}\right.$ có bao nhiêu nghiệm?

Các cặp nghiệm khác (0; 0) của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2=3\mathrm{x}+2\mathrm{y}\\ {\mathrm{y}}^2=3\mathrm{y}+2\mathrm{x}\end{array}\right.$

Cho phương trình ${\mathrm{x}}^2$ – (m + 1)x – 3 = 0  (1), với x là ẩn, m là tham số. Gọi ${\mathrm{x}}_1; {\mathrm{x}}_2$ là hai nghiệm của phương trình (1). Đặt B = $\frac{3x_1^2+3x_2^2+4x_1+4x_2-5}{x_1^2+x_2^2-4}$. Tìm m khi B đạt giá trị lớn nhất.

Để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{S}\\ \mathrm{x}.\mathrm{y}=\mathrm{P}\end{array}\right.$có nghiệm, điều kiện cần và đủ là:

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2=3\mathrm{x}-\mathrm{y}\\ {\mathrm{y}}^2=3\mathrm{y}-\mathrm{x}\end{array}\right.$ có bao nhiêu cặp nghiệm (x; y)?