Trong không gian Oxyz, cho hình nón có đỉnh I thuộc mặt phẳng $\left(P\right):2x-y-2z-7=0$ và hình tròn đáy nằm trên mặt phẳng $\left(R\right):2x-y-2z+8=0$. Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(0;-2;0) và vuông góc với trục của hình nón chia hình nón thành hai phần có thể tích lần lượt là V₁ và V₂ (V₁ là thể tích của hình nón chứa đỉnh I). Biết bằng biểu thức $S=V_2+\frac{78}{V_1^3}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi V₁=a, V₂=b. Khi đó tổng a²+b² bằng

Xét các số phức z, w thỏa mãn $\left|z+2w\right|=1$  và $\left|3z-w\right|=2$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=7\left|z+w\right|+\left|z+9w\right|$ . Tính giá trị của $M^2-m^2$ .

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

${\log }_3\left(5-\left|x\right|+2\left|y\right|\right)+2{\log }_2\left(5-\left|x\right|\right)+3\ge {\log }_3\left|y\right|+{\log }_2{\left(5-\left|x\right|+3\left|y\right|\right)}^2$?

Cho hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=\left|2f\left(\ln x\right)-{\ln }^{2}x+1-m\right|$  nghịch biến trên $\left(1;e\right)$ , biết $f\left(1\right)=2$ ?

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-1}$ . Hai điểm M, N thay đổi, lần lượt nằm trên các mặt phẳng $\left(P\right):x-2=0$ , $\left(Q\right):z-2=0$  sao cho trung điểm K của đoạn thẳng MN luôn thuộc đường thẳng $\Delta$ . Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g\left(x\right)=f^2\left(x\right)-mf\left(x\right)$  có đúng 5 điểm cực trị?

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a và BC = 4a. Gọi M là trung điểm của B’C’, biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (B’AC) bằng $\frac{6a}{13}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn ${\log }_2\left(8x^2\right)+{\log }_3\left(3x^3\right)\ge {\log }_{2}x.{\log }_{3}x$ ?

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ . Gọi $xF\left(x\right),G\left(x\right)$  là hai nguyên hàm của f(x) trên $ℝ$  thỏa mãn $3F\left(1\right)+G\left(0\right)=6$  và $F\left(1\right)-G\left(1\right)=6$ .

Tính $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin 2x.f\left({\cos }^{2}x\right)\text{d}x$ .

Cho khối nón (N) có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng $120°$ . Một mặt phẳng (P) đi qua S, cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO bằng 4. Tính thể tích V của khối nón (N).