Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh, a góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là α thoả mãn $\cos \left(\alpha \right)=\frac{1}{3}$ Mặt phẳng   (P) qua AC và vuông góc với mặt phẳng   (SAD) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau

Cho hình chóp S.ABC có hai mặt phẳng   (SAB) và   (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng   (ABC). Tam giác ABC đều, I là trung điểm của BC. Góc giữa hai mặt phẳng   (SAI) và   (SBC) là

Cho hình chóp S.ABC với các mặt (SAB),  (SBC), (SAC) vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối chóp S.ABC, biết diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là $4a^2 a^2$ và $9a^2$

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=OB=OC. Gọi M là trung điểm của BC   (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng M và AB bằng

Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE. Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng

Cho hình nón chứa bốn mặt cầu cùng có bán kính là r, trong đó ba mặt tiếp xúc với đáy, tiếp xúc lẫn nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Mặt cầu thứ tư tiếp xúc với ba mặt cầu kia và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Tính chiều cao của hình nón.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V. Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N. Gọi $V_1$  là thể tích khối chóp S.AMPN. Giá trị lớn nhất của $\frac{V_1}{V}$ thuộc khoảng nào sau đây?

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=2a. Mặt bên (SAB), (SCA) lần lượt là các tam giác vuông tại B, C. Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng $\frac{2}{3}{a}^3$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC, BD sao cho mặt phẳng (AMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (BCD)  Gọi  $V_1,V_2$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN. Tính $V_1+V_2$ 

Cho hình chóp S.ABC có đáy  ABC vuông tại A, $AB=a, AC=a\sqrt{3}$ Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD  là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD.  Tính bán kính  R  của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M' , N', P', Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng (ABCD)  Tính tỉ số $\frac{AM}{SA}$ để thể tích khối đa diện MNPQ.M'N'P'Q' đạt giá trị lớn nhất.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh huyền bằng 2a và SA=2a vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B’C’. Mặt phẳng (A'MN) cắt cạnh BC tại P. Thể tích của khối đa diện MBP.A'B'N bằng