Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, $\widehat{ABC}= {60}^0$, SA=SB=SC, SD= 2a. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại K. Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích $V_1;V_2$  trong đó $V_1$  là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Tính $\frac{V_1}{V_2}$

Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’ D’ có đáy $4\sqrt{3}$  Biết mặt phẳng (D’BC) hợp với đáy một góc ${60}^0$ . Thể tích khối lăng trụ là:

Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính MN, PQ của hai đáy sao cho $MN \perp PQ$. Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm M, N, P, Q để thu được khối đá có hình tứ diện MNPQ. Biết rằng MN= 60cm và thể tích khối tứ diện MNPQ bằng Tìm thể tích của lượng đá bị cắt bỏ  30 $d{m}^3$(làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân).

Biết rằng một hình đa diện H có 6 mặt là 6 tam giác đều. Hãy chỉ ra mệnh đề nào dưới đây là đúng

Cho hình chóp S.ABC có SC= 2a, $SC \perp ( ABC)$  Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và có  $\left(\alpha \right)$ Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua C và vuông góc với SA,  cắt SA, SB lẩn lượt tại D, E. Tính thể tích khối chóp S.CDE.

Cho tứ diện ABCD có AB =4a, CD= 6a, các cạnh còn lại đều bằng $a\sqrt{22}$ .Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Biết $SA \perp \left(ABCD\right)$ và$\frac{SB}{\sqrt{2}}=\frac{SC}{\sqrt{3}}=a$  Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Cho một hình nón có bán kính đáy bằng 5a, độ dài đường sinh bằng 13a. Tính độ dài đường cao h của hình nón

Một hộp nữ trang có mặt bên ABCDE với ABCE là hình chữ nhật, cạnh cong CDE là một cung của đường tròn có tâm là trung điểm M của đoạn thẳng AB. Biết

 Hãy tính thể tích của hộp nữ trang

Từ một hình vuông người ta cắt các tam giác vuông cân tạo ra hình bôi đậm như hình vẽ. Sau đó họ lại gập lại thành một hình hộp chữ nhật không nắp. Tính diện tích lớn nhất của hình hộp này

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đểu cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phảng đáy một góc ${30}^0$.

Cho hình nón có chiều cao h, đường tròn đáy có bán kính R. Một mặt phẳng (P) di động song song với đáy hình nón cắt hình nón theo đường tròn giao tuyến (L) Dựng hình trụ có một đáy là đường tròn (L) một đáy nằm trên đáy hình nón có trục là trục của hình nón. Gọi x là chiều cao của hình trụ, giá trị của x để hình trụ có thể tích lớn nhất

Cho biết hiệu đường sinh và bán kính đáy của một hình nón là a, góc giữa đường sinh và mặt đáy là $\alpha$.   Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có AA'= $a\sqrt{3}$ Gọi I là giao điểm của AB’ và A’B. Cho biết khoảng cách từ I đến mặt phẳng (BCC'B') bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A’B’C’.

Cho hình nón đỉnh S. Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác ngoại tiếp đường tròn đáy của hình nón và có AB= BC= 10a, AC= 12a, góc tạo bởi hai mặt phẳng(SAB) và ( ABC) bằng ${60}^0$. Tính thể tích khối nón đã cho.

Cho một khối lập phương biết rằng tăng độ dài cạnh của khối lập phương thêm 2cm thì thể tích của nó tăng thêm $152 c{m}^3$   Hỏi cạnh của khối lập phương đã cho là