Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình \[{x^3} - 3x + 1 + m = 0\] có ba nghiệm thực phân biệt.

Phương pháp giải:

- Cô lập m, đưa về sự tương giao của hai đồ thị hàm số: Số nghiệm của phương trình \[f\left( x \right) = g\left( x \right)\] chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = g\left( x \right)\].

- Lập BBT của hàm số không chứa mm, từ đó tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết:

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

Ta có \[{x^3} - 3x + 1 + m = 0 \Leftrightarrow m = - {x^3} + 3x - 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\].

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = - {x^3} + 3x - 1\] và đường thẳng \[y = m\] song song với trục hoành.

Xét hàm số \[y = - {x^3} + 3x - 1\] có \[y' = - 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 \Rightarrow y = 1}\\{x = - 1 \Rightarrow y = - 3}\end{array}} \right.\].

BBT :

 

Từ BBT ta thấy đường thẳng \[y = m\] cắt đồ thị hàm số \[y = - {x^3} + 3x - 1\] tại 3 điểm phân biệt khi \[ - 3 < m < 1\] hay \[m \in \left( { - 3;1} \right)\].