Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \[\left( { - 10 < m < 10} \right)\] để phương trình \[\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right)\] có đúng 1 nghiệm?

Phương pháp giải:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 1 > 0}\\{mx > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > - 1}\\{mx > 0}\end{array}} \right.\]

Ta có: \[\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \log \left( {mx} \right) = \log {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow mx = {\left( {x + 1} \right)^2}\]

Do \[{\left( {x + 1} \right)^2} > 0\] nên \[x \ne 0\], khi đó ta có \[mx = {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow m = x + 2 + \frac{1}{x}\] \[\left( {x > - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 0} \right)\].

Xét hàm số \[f\left( x \right) = x + \frac{1}{x} + 2\] trên khoảng \[\left( { - 1;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\], có: \[f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}},f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\]

Ta có BBT sau:

Số nghiệm của phương trình \[m = x + 2 + \frac{1}{x}\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] và đường thẳng \[y = m\] song song với trục hoành.

Như vậy, để phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm thì \[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{m = 4}\end{array}} \right..\].

Với \[m < 0\], phương trình \[f\left( x \right) = m\] có 1 nghiệm \[x \in \left( { - 1;0} \right)\], nghiệm này là nghiệm âm, do đó thỏa mãn điều kiện \[mx > 0\].

Với \[m = 4 > 0\], phương trình \[f\left( x \right) = m\] có 1 nghiệm \[x = 1\], nghiệm này là nghiệm dương, do đó thỏa mãn điều kiện \[mx > 0\].

Mà m là số nguyên và \[ - 10 < m < 10 \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 8;...; - 1;{\mkern 1mu} 4} \right\}\]

Vậy có 10 giá trị của .. thỏa mãn yêu cầu bài toán.