Cho phương trình x² – 2(m − 3)x + 4m – 16 = 0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Giải phương trình với giá trị m vừa tìm được.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.

a) Thay x = 3 vào phương trình đã cho ta được

3² – 2(m – 3).3 + 4m – 16 = 0

$\iff$9 – 6m + 18 + 4m −16 = 0

$\iff$11 – 2m = 0

$\iff m=\frac{11}{2}$ 

Khi $m=\frac{11}{2}$ phương trình trở thành

x² – 2.$(\frac{11}{2}-3)$x + 4.$\frac{11}{2}$ – 16 = 0

$\iff$x² – 5x + 6 = 0

$\iff$x² – 2x – 3x + 6 = 0

$\iff$x(x – 2) −3(x – 2) = 0

$\iff$(x – 2)(x – 3) = 0

$\iff [\begin{array}{l}x=2\\ x=3\end{array}$ 

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {2; 3}.

b) Ta có: ∆’ = [– (m – 3)]² – 1.(4m – 16)

= m² – 6m + 9 − 4m + 16

= m² −10m + 25 = (m – 5)².

Vì ∆’ = (m – 5)² ≥ 0 (đúng với mọi giá trị của m).

Nên phương trình luôn có nghiệm (điều phải chứng minh).

c) Do phương trình luôn có nghiệm, áp dụng định lý Vi-et, ta được:

$[\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2(m-3)}{1}=2m-6\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{4m-16}{1}=4m-16\end{array}$

 

Trường hợp 1: Phương trình có 1 nghiệm x₁ = 0 và một nghiệm âm. Khi đó:

x₁.x₂ = 0 tương đương 4m – 16 = 0 Û m = 4

Do đó x₁ + x₂ = x₂ = 2m – 6 = 2 (không thỏa mãn)

Trường hợp 2: Phương trình có một nghiệm âm và một nghiệm dương. Khi đó:

x₁.x₂ < 0 Û 4m – 16 < 0 Û m < 4

Trường hợp 3: Phương trình có hai nghiệm âm. Khi đó:

$\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2>0\\ x_1+x_2<0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}4m-16>0\\ 2m-6<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m>4\\ m<3\end{array}$ (không tồn tại giá trị m)

Vậy để phương trình có ít nhất một nghiệm âm thì m < 4.