Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm I cố định nằm giữa A và O. Dây CD vuông góc với AB tại I. Gọi E là điểm tùy ý thuộc dây CD (E không trùng với C, D). Tia AE cắt (O) tại F.

a) Chứng minh tứ giác BIEF nội tiếp.

b) Chứng minh: AC² = AI.AB = AE.AF .

c) Kẻ đường kính CM của (O); kẻ dây DN vuông góc với FM. Chứng minh CN = DF.

d) Gọi giao điểm của CN và DF là K. Chứng minh rằng giao điểm của OK với BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.

a) Ta có: $\widehat{EIB}$= 90° (vì CI ⊥ AB)

$\widehat{EFB}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác BIEF có $\widehat{EIB}$+$\widehat{EFB}$= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác BIEF nội tiếp.

b) Tam giác ABC có $\widehat{ACB}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra ∆ACB vuông tại C

Xét ∆ACB vuông tại C đường cao IC, ta được:

AC² = AI . AB (1)

Xét ∆ AEI và ∆ ABF có:

$\widehat{FAB}$ là góc chung

$\widehat{AEI}\text{=}\widehat{ABF}$ (tứ giác BIEF nội tiếp)

Suy ra ∆ AEI  ∆ ABF (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{AE}{AB}=\frac{AI}{AF}\iff AE.AF=AB.AI$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra

AC² = AI.AB = AE.AF (điều phải chứng minh)

c) Ta có CF ⊥ FM ($\widehat{CFM}$ = 90° góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

DN ⊥ FM (giả thiết)

Suy ra CF // DM

Suy ra tứ giác CFND là hình thang (3)

Ta có $\widehat{CFD}=\widehat{FDN}$ (hai góc so le trong của CF // DN)

Suy ra $\stackrel{⌢}{CD}=\stackrel{⌢}{NF}$ (hai góc nội tiếp bằng nhau)

Û $\stackrel{⌢}{CD}+\stackrel{⌢}{CF}=\stackrel{⌢}{CF}+\stackrel{⌢}{FN}$

Û $\stackrel{⌢}{DF}=\stackrel{⌢}{CN}$

$\Rightarrow \widehat{FND}=\widehat{CDN}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (4)

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác CFND là hình thang cân.

Suy ra CN = FD (hai đường chéo của hình thang cân).

d) Ta có K là giao điểm của CN và FD nên:

CK = KF

Mà ta cũng có CO = OF = R.

Suy ra OK là trung trực của CF.

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp của CEF sẽ thuộc đường thẳng OK (5)

Ta có O là trung điểm CM.

I là trung điểm CD (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây).

Suy ra OI là đường trung bình của ∆DCM.

Suy ra IO // DM.

Suy ra AB // DM.

Đường tròn (O) có dây AB // dây DM suy ra $\stackrel{⌢}{AD}=\stackrel{⌢}{MB}$

$\iff \stackrel{⌢}{AD}+\stackrel{⌢}{DM}=\stackrel{⌢}{DM}+\stackrel{⌢}{MB}$

$\iff \stackrel{⌢}{AM}=\stackrel{⌢}{DB}\Rightarrow \widehat{AFM}=\widehat{DCB}$

Gọi P là giao điểm của FM và CB.

Xét tứ giác ECFP có $\widehat{ECP}=\widehat{EFP}$

Suy ra tứ giác ECFP nội tiếp.

Tứ giác ECFP nội tiếp có $\widehat{CFP}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra CP là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECFP.

Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECFP thuộc CP.

Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF thuộc CB (6)

Từ (5) và (6) suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF là giao điểm của OK và BC