Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm:
x2 – 4x + n(m – 1) + 5 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Giải bởi Vietjack
Ta có: ∆’ = 22 – [n(m – 1) + 5] = −nm + n −1.
Do m, n là các số thực dương để phương trình có nghiệm nên ta có:
∆’ = −nm + n – 1 ≥ 0
Û n(1 – m) ≥ 1
Mà n > 0 nên 1 – m > 0
Cùng với điều kiện đề bài 0 < m < 1 1 > 1 – m > 0
Ta có n(1 – m) ≥ 1
mà 1 > 1 – m
nên n > 1
Ta có
Đặt a = 
và b = n(1 − m) (b ≥ 1)
Do b ≥ 1, 0 < m < 1 và 1 > 1 – m > 0 nên suy ra a > 1.
Xét P = với a > 1 biểu thức này nhỏ nhất khi a nhỏ nhất.
Do a nhỏ nhất khi b nhỏ nhất và m(1− m) lớn nhất
b nhỏ nhất = 1
Áp dụng bất đẳng thức Cosi m(1−m)
Vậy a nhỏ nhất bằng
Khi đó:
Pmin = = 6,25
Khi m = 0,5 và n = 2.
Cho phương trình x2 – 2(m − 3)x + 4m – 16 = 0 (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Giải phương trình với giá trị m vừa tìm được.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm I cố định nằm giữa A và O. Dây CD vuông góc với AB tại I. Gọi E là điểm tùy ý thuộc dây CD (E không trùng với C, D). Tia AE cắt (O) tại F.
a) Chứng minh tứ giác BIEF nội tiếp.
b) Chứng minh: AC2 = AI.AB = AE.AF .
c) Kẻ đường kính CM của (O); kẻ dây DN vuông góc với FM. Chứng minh CN = DF.
d) Gọi giao điểm của CN và DF là K. Chứng minh rằng giao điểm của OK với BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
